LOJ#551 Matrix

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题意

\(\rm Alice\)和\(\rm Bob\)在玩游戏，他们要给一个\(n\times n\)的矩阵打标记。初始时没有任何标记，每一轮\(\rm Bob\)先手，两个人可以选一个格子打上自己的标记（\(\rm Alice \to A,Bob\to B\)），但如果选择了已经打过标记的格子就输掉游戏。

如果在某个时刻，存在一个长度为\(n\)的排列\(p\)使得对于\(i=1,2,\dots,n\)，有第\(i\)行第\(p_i\)列的标记为\(\rm A\)成立，那么\(\rm Alice\)获胜。

如果在\(\lfloor\frac{n^2}{2}\rfloor\)轮后，\(\rm Alice\)依然没有获胜，那么\(\rm Bob\)获胜。

给定\(T\)组询问，每次给定一个数\(n\)，问在之前的游戏规则下：

\(1\)、双方记得之前的所有操作，\(\rm Alice\)是否有必胜策略。

\(2\)、\(\rm Alice\)只记得当前这一轮\(\rm Bob\)的操作，\(\rm Bob\)记得所有操作，\(\rm Alice\)是否有必胜策略。

\(T\leq 100,n\leq 10^{18}\)。

题解

这种题目就应该大力猜结论。

先考虑比较简单的第一问，在\(n\)比较大的平凡情况下，假设\(\rm Bob\)标记了第\(x\)行的某个格子，那么\(\rm Alice\)就可以选择第\(x\)行的另一个格子（记为第\(y\)列）。之后，\(\rm Alice\)选择第\(y\)列上的格子一定是不优的，因此对\(\rm Alice\)来说，她可以将棋盘重新看作\((n-1)\times (n-1)\)大小的。只要在\((n-1)\times (n-1)\)时有必胜策略，那么\(n\times n\)时就一定有必胜策略。

那么暴搜最小的有必胜策略的\(n\)，可以本地发现\(n=4\)时有必胜策略，因此第一问的答案就是\([n\geq 4]\)。

对于第二问，显然必胜策略应该避免选择已经标记过的格子。可以发现唯一的方法就是使棋盘上的格子两两匹配，对于每一个匹配，假如\(\rm Bob\)选择了其中一个，那么\(\rm Alice\)就立即选择另一个。

首先\(n\)为奇数的时候显然无解，考虑怎么在\(n\)为偶数的时候构造一种匹配方案，使得对于每一个匹配无论选择哪一个，总存在一个排列满足对应的位置都标记了\(\rm A\)。

先本地暴搜\(n\)小的情况（当然要加一点剪枝），可以发现\(n=4\)和\(n=6\)都是有解的。

那么对于更大的\(n\)，只要在对角线上依次放上\(n=4\)或\(n=6\)的，剩下的位置随便匹配即可。

比如下面就是\(n=10\)的构造方法，蓝色部分随意匹配即可。

于是第二问的答案就是\([n\geq 4,n\equiv 0(\bmod 2)]\)。

#include<cstdio>
#define int long long
signed main()
{
	int T,n;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		puts(n>=4?"Yes":"No");
		puts(n>=4&&!(n&1)?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}