BZOJ 4318 OSU! (概率DP)

题意

中文题面，难得解释了 题目传送门

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分析

• 考虑到概率DPDPDP，显然可以想到f(i,j)f(i,j)f(i,j)表示到第iii位末尾有jjj个111的期望值。最后输出f(n+1,0)f(n+1,0)f(n+1,0)即可
• 但 n&lt;=100000n&lt;=100000n<=100000
• xxx表示连续的111的个数。所以想想怎么可以得到 x3x^3x3。
• 有 x3=(x−1)3+3(x−1)2+3(x−1)+1x^3=(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1x3=(x−1)3+3(x−1)2+3(x−1)+1
• 用EEE表示期望，记p[i]p[i]p[i]表示第iii位选111的概率，则E(x3)=( E((x−1)3)+E(3(x−1)2)+E(3(x−1))+E(1) )∗p[i]E(x^3)=(\ E((x-1)^3)+E(3(x-1)^2)+E(3(x-1))+E(1)\ )*p[i]E(x3)=( E((x−1)3)+E(3(x−1)2)+E(3(x−1))+E(1) )∗p[i]
• 那么我们假设f1f1f1表示存在于末尾的xxx的期望值；f2f2f2表示存在于末尾的x2x^2x2的期望值；f3f3f3表示前面的所有x3x^3x3的期望值，也就是答案。
• 转移方程式就为：
  
  f3(i)=f3(i−1)+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]f2(i)=(f2(i−1)+2f2(i−1)+1)∗p[i]f1(i)=(f1(i−1)+1)∗p[i]\begin{aligned}f3(i)&amp;=f3(i-1)+(3f2(i-1)+3f1(i-1)+1)*p[i]\\
  f2(i)&amp;=(f2(i-1)+2f2(i-1)+1)*p[i]\\
  f1(i)&amp;=(f1(i-1)+1)*p[i]\end{aligned}f3(i)f2(i)f1(i)​=f3(i−1)+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=(f2(i−1)+2f2(i−1)+1)∗p[i]=(f1(i−1)+1)∗p[i]​
• 本来第一个方程式看起来有点奇怪，其实那是合并之后的结果。我们记LastLastLast为i−1i-1i−1之前的已经完结的E(x3)E(x^3)E(x3)的总和，这一部分只是为了为最终输出的答案做贡献才放在f3f3f3里。那么剩下的记为NowNowNow，就是未完结、存在于末尾的E(x3)E(x^3)E(x3)。有Last+Now=f3(i−1)Last+Now=f3(i-1)Last+Now=f3(i−1)
  • 假如这个位置选了000,那么不会再往后做贡献，但是要把这一部分加到最终答案里面去。这一部分值为Now∗(1−p[i])Now*(1-p[i])Now∗(1−p[i])
  • 否则将会对后面产生贡献，值为Now∗p[i]Now*p[i]Now∗p[i]，其实也就是充当E(x3)=( E((x−1)3)+E(3(x−1)2)+E(3(x−1))+E(1) )∗p[i]E(x^3)=(\ E((x-1)^3)+E(3(x-1)^2)+E(3(x-1))+E(1)\ )*p[i]E(x3)=( E((x−1)3)+E(3(x−1)2)+E(3(x−1))+E(1) )∗p[i]中的E((x−1)3)E((x-1)^3)E((x−1)3)
• 所以f3(i)=Last+Now∗(1−p[i])+(Now+3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=Last+Now∗((1−p[i)]+p[i])+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=Last+Now+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=f3(i−1)+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]\begin{aligned}f3(i)&amp;=Last+Now*(1-p[i])+(Now+3f2(i-1)+3f1(i-1)+1)*p[i]\\&amp;=Last+Now*((1-p[i)]+p[i]) + (3f2(i-1)+3f1(i-1)+1)*p[i]\\&amp;=Last + Now+ (3f2(i-1)+3f1(i-1)+1)*p[i]\\&amp;=f3(i-1)+(3f2(i-1)+3f1(i-1)+1)*p[i]\end{aligned}f3(i)​=Last+Now∗(1−p[i])+(Now+3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=Last+Now∗((1−p[i)]+p[i])+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=Last+Now+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]=f3(i−1)+(3f2(i−1)+3f1(i−1)+1)∗p[i]​
• 而且DPDPDP时不用开数组

AC Code(300B)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	double f1 = 0, f2 = 0, f3 = 0, p;
	while(n--) {
		scanf("%lf", &p);
		f3 += (3*f1 + 3*f2 + 1) * p;
		f2 = (f2 + 2*f1 + 1) * p;
		f1 = (f1 + 1) * p;
	}
	printf("%.1f\n", f3);
}