洛谷 P5658 括号树 题解

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简要题意：

求出以从每个节点到根形成的括号序列的合法对数。

算法一

观察到 \(n \leq 8\) ，所以我们可以用 纯粹的暴力 。

用 \(O(n)\) 时间得出当前节点到根的字符串。

然后 \(O(n^2)\) 枚举子串。

再用 \(O(n)\) 暴力判断（用栈）。

时间复杂度： \(O(n^5)\).

实际得分： \(10pts\).

优化一

用 \(s_i\) 表示 \(i\) 号节点对应的括号。

用 \(h_i\) 表示当前节点到根的字符串。

用 \(fa_i\) 表示当前节点的父亲编号。

则：

\[h_i = h_{fa_i} + s_i
\]

由此，\(O(1)\) 推出字符串。

然后 \(O(n^2)\) 枚举子串，\(O(n)\) 验证。

时间复杂度： \(O(n^4)\)

实际得分： \(10pts\).

优化二

同样 \(O(1)\) 推出字符串。

下面，我们用 \(f_i\) 表示从第 \(i\) 号节点到根形成的括号序列的合法对数。

那么，显然存在：

\(f_i \geq f_{fa_i}\)

也就是说，我们只需要考虑以 \(i\) 号节点结尾的子串的贡献。

这样，我们枚举子串的时间复杂度降为 \(O(n)\)，判断降为 \(O(n)\).

总时间复杂度： \(O(n^3)\)

实际得分：\(20pts\)

优化三

显然，我们需要摆脱枚举子串，而用另一些东西直接维护。

\[ h_i=
\begin{cases}
h_{fa_i},s_i = \text{(} \\
h_{fa_{g_i}}, s_i = \text{)} \\
\end{cases}
\]

其中， \(g_i\) 表示从当前节点开始，到根的路径上第一个（从下往上数）未匹配的左括号。

如果 \(s_i = \text{(}\) ，显然以当前节点结尾没有合法子串。

如果 \(s_i = \text{)}\) ， 则找到它可以匹配的第一个左括号，然后记录那个左括号父亲的值（即前面的值）即可。

那么，\(g_i\) 如何维护呢？

\[g_i =
\begin{cases}
i , s_i = \text{(} \\
g_{fa_i} , s_i = \text{)} \\
\end{cases}
\]

这也是显然的。

那么，我们可以做到 \(O(n)\) 时间维护这所有的东西。

总时间复杂度： \(O(n)\).

实际得分： \(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e5+1;
typedef long long ll;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

char s[N];
int n; ll ans;
ll f[N],g[N],fa[N];
vector<int>G[N];
// f[i] 为 当前节点的贡献值
// g[i] 为 从当前节点起，第一个没匹配的左括号的编号 

inline void dfs(int dep) {
	g[dep]=g[fa[dep]];
	if(s[dep]=='(') g[dep]=dep;
	else if(g[dep]) f[dep]=f[fa[g[dep]]]+1,g[dep]=g[fa[g[dep]]]; //维护
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++) dfs(G[dep][i]); //递归下去
}

int main(){
	n=read(); scanf("%s",s+1); //一个技巧，让字符串下标从 1 开始
	for(int i=2,t;i<=n;i++) {
		t=read(); fa[i]=t;
		G[t].push_back(i); //存儿子节点编号
	} dfs(1);
	ans=f[1]; for(int i=2;i<=n;i++)
		f[i]+=f[fa[i]],ans^=(i*f[i]); //我们把父亲的值放到最后算，避免出错
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}