特殊方格棋盘【状压DP】

讲真状压DP这个东西只不过是有那么亿丢丢考验心态罢了(确信)

先从板子题说起,另加一些基础知识

题目描述

在的方格棋盘上放置n 个车,某些格子不能放,求使它们不能互相攻击的方案总数。

注意:同一行或同一列只能有一个车,否则会相互攻击

输入格式

输入文件第一行,有两个数n, m ,n表示方格棋盘大小,m表示不能放的格子数量

下面有m行,每行两个整数,为不能放的格子的位置。

输出格式

输出文件也只有一行,即得出的方案总数。

样例

样例输入

2 1
1 1

样例输出

1

思路分析

状压的核心:1. 二进制表示状态

2.位运算进行转移等操作

  • 状压DP的核心就在于用二进制数表示一种状态,其实是一种非常暴力的算法,举个例子:

    例如dp[s] [v]中,S可以代表已经访问过的顶点的集合,v可以代表当前所在的顶点为v。S代表的就是一种状态(二进制表示),比如 (11001)2 代表在二进制中{0,3,4}三个顶点已经访问过了,(11001)2 代表的十进制数就是25 ,所以当S为25的时候其实就是代表已经访问过了{0,3,4}三个顶点,那假如一共有5个顶点(标号为01234)的话,所有的顶点都访问完毕应该S为什么呢?是 (11111)2。

  • 关于本题:

    • 这题的约束条件非常非常简单,直接告诉了你哪里不能放,那么我们怎么记录这个所给的约束条件呢?

    • 其实也是用二进制的思想,我们开一个数组a[x],表示第x行的限制,如果第x行的第y列不能放置,那么我们就将其对应的二进制位变为1,这里涉及到了位运算——a[x] += 1<<(y-1);

    • 本题还用到了另一个和二进制紧密相关的东西:

      int lowbit(int x){return x & -x;}
      返回值是最后一个二进制数位为1的位置
  • 转移方程:

    int maxs = 1<<n; //显然这是最大的状态,即每个二进制位都是1
    for(int s = 1;s < maxs;s++){
    int cnt = 0;
    for(int i = s;i;i-=lowbit(i))cnt++;//记录二进制1的个数,即放车车的个数(等于行数)
    for(int i = s;i;i-=lowbit(i)){ //根据不能放在同一列进行转移
    if(!(a[cnt] & lowbit(i))){ //首先要保证该位置可以放
    int ss = s^lowbit(i); //异或恰好使得上一行的状态与本行不发生冲突
    f[s] += f[ss];
    }
    }
    }

    另附一张位运算常用操作:

    上代码

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm> const int maxn = (1<<20)-1;
    typedef long long ll;
    ll f[maxn],a[25]; int lowbit(int x){
    return x & -x;
    } int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= m;i++){
    int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
    a[x] += 1<<(y-1);
    }
    f[0] = 1;
    int maxs = 1<<n;
    for(int s = 1;s < maxs;s++){
    int cnt = 0;
    for(int i = s;i;i-=lowbit(i))cnt++;
    for(int i = s;i;i-=lowbit(i)){
    if(!(a[cnt] & lowbit(i))){
    int ss = s^lowbit(i);
    f[s] += f[ss];
    }
    }
    }
    printf("%lld\n",f[maxs - 1]);
    return 0;
    }

发量成功减1%

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