[问题2015A01]  证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值.

[问题2015A02]  设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 $x$ 的多项式. 若 $k$ 是正整数, 满足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 证明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$.

提示  考虑 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的行列式. 另外, 本题还可以推广为: 若 $k$ 是正整数, $p(x)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式, 满足 $p(x)^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 则 $p(x)^{k+1}$ 整除 $|A|$.

[问题2015A03]  设 $M=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \end{pmatrix}$, 证明: $r(M)\geq n-1$.

提示  参考复旦高代教材第102页的例2.6.5, 可用秩的降阶公式来做.

[问题2015A04]  设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵, 试用秩的子式判别法和 Cauchy-Binet 公式证明: $r(A'A)=r(AA')=r(A)$.

提示  这是复旦高代教材第179页的复习题41, 复旦高代白皮书第151页的例3.72, 那里用的是线性方程组的求解理论来做的.

[问题2015A05]  设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵, 约定 $A^0=I_n$.

(1) 若 $k$ 是非负整数, 使得 $r(A^k)=r(A^{k+1})$, 证明: 对任意的 $i\geq k$, $r(A^i)=r(A^k)$.

(2) 记 $s(A)=\min\{k\in\mathbb{N}\mid r(A^k)=r(A^{k+1})\}$, 称为 $A$ 的稳定指数, 意味着从 $i\geq s(A)$ 开始, $A^i$ 的秩保持稳定了, 这个最终稳定的秩记为 $r_{\infty}(A)$, 即 $r_{\infty}(A)=r(A^i)$, $\forall\,i\geq s(A)$. 证明: $s(A)$ 必存在, 并且是 $0$ 和 $n$ 之间的某个自然数.

(3) 证明: $r_{\infty}(AB)=r_{\infty}(BA)$.

(4) 证明: $|s(AB)-s(BA)|\leq 1$, 并举例说明可取到 $A,B$, 使得 $|s(AB)-s(BA)|=1$.

提示  前面两问参考复旦高代白皮书例4.32的证明. 后面两问合在一起考虑, 利用秩的基本公式以及 $(AB)^{i+1}=A(BA)^iB$ 和 $B(AB)^{i+1}A=(BA)^{i+2}$ 来证明.

[问题2015A06]  设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵, $A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 对应的代数余子式. 设 $1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n$ 为两组给定的指标集, $\hat{\,i}$ 表示 $i$ 不在指标集中, 试证明:

$$\begin{vmatrix} A_{i_1j_1} & \cdots & A_{i_rj_1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{i_1j_r} & \cdots & A_{i_rj_r} \end{vmatrix}=(-1)^{i_1+\cdots+i_r+j_1+\cdots+j_r}A\begin{pmatrix} 1 & \cdots & \hat{i_1} & \cdots & \hat{i_r} & \cdots & n \\ 1 & \cdots & \hat{j_1} & \cdots & \hat{j_r} & \cdots & n \end{pmatrix}|A|^{r-1}.$$

提示  先利用公式 $AA^*=|A|I_n$ 以及复旦高代白皮书例9.39类似的方法证明 $i_1=j_1=1$, $\cdots$, $i_r=j_r=r$ 的特殊情形, 然后再利用行列对换将一般情形化约到特殊情形即可.

[问题2015A07]  设 $V$ 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间, 满足 $V$ 中所有的非零矩阵都是非异阵, 证明: $\dim_{\mathbb{K}}V\leq n$.

提示  构造 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间 $U$, 满足 $U$ 中所有的矩阵都是奇异阵且 $\dim U=n^2-n$, 然后利用直和 $V\oplus U\subseteq M_n(\mathbb{K})$ 得到结论.

[问题2015A08]  设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi^m=0$, 其中 $m,q$ 为正整数, $n=mq+1$. 证明: $\dim\mathrm{Im\,}\varphi\leq n-q-1$.

提示  代数方法可用 Sylvester 不等式, 几何方法可用线性映射的维数公式.

[问题2015A09]  定义: 线性空间 $V$ 中的一族向量 $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 称为线性无关的, 如果 $B$ 中任意有限个向量都是线性无关的. $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 称为线性空间 $V$ 的一组基, 如果 $B$ 是线性无关的, 并且 $V=L(B)$, 即 $V$ 中任一向量都是 $B$ 中有限个向量的线性组合. 利用 Zorn 引理或选择公理可证明任一线性空间 $V$ 中都存在一组基 $B$ (在抽象代数课中会给出证明, 大家现在予以承认即可).

(1) 证明: $\mathbb{K}[x]$ 的一组基为 $B=\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}$.

(2) 举例说明: 复旦高代教材第 204 页的习题 3 对无限维线性空间一般并不成立, 即存在无限维线性空间 $V$ 上的自同构 $\varphi$ 以及 $\varphi$ 的不变子空间 $W$, 但 $W$ 不是 $\varphi^{-1}$ 的不变子空间.

提示  考虑 $V=\mathbb{K}[x]$ 的基之间的双射诱导的线性自同构, 然后再构造相应的 $\varphi$-不变子空间 $W$.

[问题2015A10]  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明下列条件等价:

(1) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi+\mathrm{Im\,}\varphi$;

(2) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus\mathrm{Im\,}\varphi$;

(3) $\mathrm{Ker\,}\varphi\cap\mathrm{Im\,}\varphi=0$;

(4) $\mathrm{Ker\,}\varphi=\mathrm{Ker\,}\varphi^2$, 或等价地, $\dim\mathrm{Ker\,}\varphi=\dim\mathrm{Ker\,}\varphi^2$;

(5) $\mathrm{Im\,}\varphi=\mathrm{Im\,}\varphi^2$, 或等价地, $r(\varphi)=r(\varphi^2)$;

(6) $\mathrm{Ker\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不变的补空间, 即存在 $\varphi$-不变子空间 $U$, 使得 $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus U$;

(7) $\mathrm{Im\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不变的补空间, 即存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=\mathrm{Im\,}\varphi\oplus W$.

[问题2015A11]  设 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)\in\mathbb{K}[x]$, 证明: $$((f_1(x),f_2(x)),f_3(x),\cdots,f_m(x))=(f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)),$$ $$[[f_1(x),f_2(x)],f_3(x),\cdots,f_m(x)]=[f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)].$$

  复旦高代书第 216 页定理 5.3.1 告诉我们: 可用辗转相除法求两个多项式的最大公因式, 第 220 页推论 5.3.6 将求两个多项式的最小公倍式转化为求两个多项式的最大公因式. 由于最大公因式 (最小公倍式) 的定义与 $f_i(x)$ 的顺序无关, 上述公式告诉我们: 求 $m$ 个多项式的最大公因式 (最小公倍式) 时, 可以任意选取两个多项式先求最大公因式 (最小公倍式), 然后再求 $m-1$ 个多项式的最大公因式 (最小公倍式), 这样不断地递推下去, 最后可求得 $m$ 个多项式的最大公因式 (最小公倍式). 这是一种不依赖于多项式因式分解的可计算的方法.

[问题2015A12]  设循环矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}$ 是非异阵, 求证: $A^{-1}$ 也是循环矩阵.

提示  利用新白皮书的例2.12、例2.52和例5.75类似的证明方法 (互素多项式的应用) 来做.

复旦高等代数 I(15级)每周一题的更多相关文章

  1. [问题2014S12] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第十二教学周)

    [问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB ...

  2. 复旦高等代数I(19级)每周一题

    本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始,到第15教学周结束,每周的周末公布一道思考题(共14道,思考题一般与下周授课内容密切相关),供大家思考和解答.每周一题将通过“高等代数官方博客”(以博 ...

  3. 复旦高等代数II(18级)每周一题

    本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十五教学周结束,每周的周末公布一道思考题(预计15道),供大家思考和解答.每周一题将通过“高等代数官方博客”(以博文的形式)和“高等代 ...

  4. 复旦高等代数 II(17级)每周一题

    本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十六教学周为止(根据法定节假日安排,中间个别周会适当地停止),每周的周末将公布1道思考题(共16道),供大家思考和解答.每周一题通过“ ...

  5. 复旦高等代数 I(16级)每周一题

    每周一题的说明 一.本学期高代I的每周一题面向16级的同学,将定期更新(一般每周的周末公布下一周的题目); 二.欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家: ...

  6. 复旦高等代数 I(17级)每周一题

    本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第二教学周开始,到第十六教学周为止(根据法定节假日安排,中间个别周会适当地停止),每周的周末将公布1-2道思考题,供大家思考和解答.每周一题通过“谢启鸿高 ...

  7. 复旦高等代数II(16级)每周一题

    每周一题的说明 一.本学期高代II的每周一题面向16级的同学,将定期更新(一般每周的周末公布下一周的题目); 二.欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家 ...

  8. 复旦大学2015--2016学年第二学期(15级)高等代数II期末考试第六大题解答

    六.(本题10分)  设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 复系数多项式 $g(\lambda)$ 满足 $(f(g(\lambda)),g'(\lambda))= ...

  9. 复旦大学2015--2016学年第一学期(15级)高等代数I期末考试第八大题解答

    八.(本题10分)  设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 为 $V$ 上的线性变换. 子空间 $C(\varphi,\alpha)=L(\alpha,\varp ...

  10. 复旦高等代数 I(16级)思考题

    思考题的说明 一.本学期高代I的思考题面向16级的同学,将不定期地进行更新; 二.欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家: 三.请大家先独立解答思考题, ...

随机推荐

  1. 【简●解】[HNOI2005]星际贸易

    [大意] 太多了,懒得打,贴\(LG\)的图了... [分析] 开始拿到这道题有点慌:怎么限制条件这么多,再读读题. 注意一个东西,就是贸易额与费用是独立分开的,并且题目保证只有一种方案获得最大贸易额 ...

  2. SpringBoot 多数据库支持:

    SpringBoot 多数据库支持: springboot2.0+mybatis多数据源集成 https://www.cnblogs.com/cdblogs/p/9275883.html Spring ...

  3. 2.5_Database Interface ODBC数据源及案例

    分类 用户数据源 用户创建的数据源,称为“用户数据源”.此时只有创建者才能使用,并且只能在所定义的机器上运行.任何用户都不能使用其他用户创建的用户数据源. 系统数据源 所有用户在Windows下以服务 ...

  4. C# 使用代理实现方法过滤

    一.为什么要进行方法过滤 一些情况下我们需要再方法调用前记录方法的调用时间和使用的参数,再调用后需要记录方法的结束时间和返回结果,当方法出现异常的时候,需要记录异常的堆栈和原因,这些都是与业务无关的代 ...

  5. 接口认证:Bearer Token(Token 令牌)

    因为HTTP协议是开放的,可以任人调用.所以,如果接口不希望被随意调用,就需要做访问权限的控制,认证是好的用户,才允许调用API. 目前主流的访问权限控制/认证模式有以下几种: 1)Bearer To ...

  6. 6.transform?animation?区别?animation-duration【CSS】

    1.Transform:它和width.left一样,定义了元素很多静态样式实现变形.旋转.缩放.移位及透视等功能,通过一系列功能的组合我们可以实现很炫酷的静态效果(非动画).  2.Animatio ...

  7. C++线程同步与互斥总结

    互斥:当多个线程访问同一个全局变量,或者同一个资源(比如打印机)的时候,需要进行线程间的互斥操作来保证访问的安全性. 临界区.互斥体.事件和信号量都可以实现线程互斥.但如果仅仅需要实现互斥功能,推荐前 ...

  8. iview Carousel 轮播图自适应宽高;iview 轮播图 图片重叠问题;iview tabs 高度互相影响问题;vue this问题;

    最终效果图: 一.轮播图中图片自适应宽高:  <Carousel loop v-bind:height="imgHeight+'px'" v-model="caro ...

  9. IDG资本

    https://baike.baidu.com/item/IDG/10412 美国国际数据集团(International Data Group) 是全世界最大的信息技术出版.研究.发展与风险投资公司 ...

  10. 2019牛客多校第一场 A.Equivalent Prefixes

    题目描述 Two arrays u and v each with m distinct elements are called equivalent if and only if RMQ(u,l,r ...