[POJ1160] Post Office [四边形不等式dp]

题面：

传送门

思路：

dp方程实际上很好想

设$dp\left[i\right]\left[j\right]$表示前$j$个镇子设立$i$个邮局的最小花费

然后状态转移：

$dp\left[i\right]\left[j\right]=min\left(dp\left[i-1\right]\left[k-1\right]+w\left(k,j\right)\right)$

其中$w$表示在这个闭区间内设立一个邮局的最小费用

推一下发现这里$w$可以$O\left(1\right)$前缀和计算，或者$O\left(n^2\right)$预处理

本来到这里这道题目其实就解决了（因为$n$只有$300$）

但是我们本着优化到底的精神，来重新审视这个方程，结果发现：

这不就是四边形不等式第二类情形吗！

然后证明一下$w$的四边形不等式，然后优化，变成$O\left(n^2\right)$

Code：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define inf 1e9
 using namespace std;
 inline int read(){
     int re=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){
         if(ch=='-') flag=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
     return re*flag;
 }
 int n,m,a[],sum[];
 int dp[][],s[][];
 int w(int l,int r){
     int t=(l+r)>>;
     return (sum[r]-sum[t])-(sum[t-]-sum[l-])-(r-t)*a[t]+(t-l)*a[t];
 }
 int main(){
     int i,j,p,k,tmp;
     n=read();m=read();
     for(i=;i<=n;i++) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-]+a[i];
     for(i=;i<=n;i++) dp[i][i]=,s[i][i]=i;
     for(p=;p<=n-m;p++){
         dp[][p]=inf;
         for(i=;(j=i+p)<=n;i++){
             dp[i][j]=inf;
             for(k=s[i][j-];k<=s[i+][j];k++){
                 if((tmp=dp[i-][k-]+w(k,j))<dp[i][j]){
                     dp[i][j]=tmp;s[i][j]=k;
                 }
             }
         }
     }
     printf("%d\n",dp[m][n]);
 }