萌新笔记之Nim取石子游戏

以下笔记摘自计算机丛书组合数学，机械工业出版社。

Nim取石子游戏

Nim（来自德语Nimm!，意为拿取）取石子游戏。

前言：

哇咔咔，让我们来追寻娱乐数学的组合数学起源！

游戏内容：

有两个玩家面对若干堆东西（硬币，石子，豆子···）进行游戏。设有k≥1堆硬币，各堆分别含有n1,n2...nk枚硬币。

游戏规则：

(1):游戏中两个人交替进行游戏（我们称第一个取的为1号，第二个取的为2号）。

(2):当玩家取石子的时候，先选择硬币中的一堆，然后可以从堆中取走任意数量的硬币。

当所有的堆为空时，游戏结束。最后取子者（即能够取走最后一堆中剩下的所有硬币）获胜。

注意：游戏是明智进行的，即两个玩家都是以自己最优进行的。What should I do?我也很无奈呀。

不要纠结就是上呀：

我们先考虑特殊情况（这是一般求解问题的重要原则：为了深入理解呵强化直觉力，往往考虑小的或特殊清形。然后，为了一般地解决问题再努力扩展你的想法，感觉这个对构造问题也是很有帮助）。

特殊情况：

如果一开始只有一堆(n1)：那么1号取完n1，win，游戏结束。

如果一开始只有两堆(n1,n2)：那么对于1号来说，他不关心n1,n2，他关心的是n1,n2是否相等。

如果n1≠n2，那么1号取多的那一堆，使得两堆相等，等2号来取的时候，2号取完只会产生两种情况：①：存在两堆不相等 ②：只有一堆了。

对于②：一号win，游戏结束。

对于①，一号继续构造成两堆相等，一直如此，会变成状态②，一号win.

讲到这里还是蛮简单的嘛~

好，我们去考虑一般情况！拿起纸和笔一起啊~

哦，等等我说个过渡，太直接感觉不好。

过渡：

我们知道对于一个十进制数，都有一个对应的二进制数，比如11：1011。我把每堆分成几个子堆（其实没分！其实没分！其实没分！只是我们假想分了！），怎么分呢？

就是应用刚刚说的拆成2的非负次幂的数[1(2^0)，2(2^1)，4(2^2)....2^x]，11就拆成了8+2+1=11.

有什么用呢？

在2-堆 Nim取石子游戏中，各种大小的子堆的总数只能是0，1，2（废话，总共只有2堆）。

考虑各种大小的子堆的总堆数是偶数是什么情况？那么不就是两个堆相等嘛，2号赢的情况！我相信，在这里感觉来了,如果前提不是2-堆而是k-堆，而各种大小的子堆的总堆数都是偶数？（希望我不是沉浸在自己的世界里）

重点：

现在考虑各堆大小为n1,n2...nk的一般Nim取石子游戏。将每一个数ni表示成2的非负次幂的数（11->1011）

我们说（不是我说的，是数学家说的）Nim取子游戏是平衡的。（这里跨度有点大，但是感觉这里还是自己理解就好。）

于是我们有1号能够在非平衡Nim取子游戏中取胜，2号能够在平衡Nim取子游戏中取胜。

如果局势是非平衡的状态，那么1号可以从一个堆中取石子，留给2号平衡的状态。而2号怎么做都会构成非平衡状态，从而1号win；反之，同理。

我们举个例子，有4个堆：7，9，12，15

堆大小	2^3=8	2^2=4	2^1=2	2^0=1
7	0	1	1	1
9	1	0	0	1
12	1	1	0	0
15	1	1	1	1

显然是非平衡的，3位，2位，0位非平衡，也就是1号会赢。

那么也就是说1号怎么搞构造成平衡呢？

有：

从12选11，剩：0001，满足

从9取5， 剩：0100，满足

从15取13，剩0010，满足

that's all, thanks!