以下笔记摘自计算机丛书组合数学,机械工业出版社。

Nim取石子游戏

Nim(来自德语Nimm!,意为拿取)取石子游戏。

前言:

哇咔咔,让我们来追寻娱乐数学的组合数学起源!

游戏内容:

有两个玩家面对若干堆东西(硬币,石子,豆子···)进行游戏。设有k≥1堆硬币,各堆分别含有n1,n2...nk枚硬币。

游戏规则:

(1):游戏中两个人交替进行游戏(我们称第一个取的为1号,第二个取的为2号)。

(2):当玩家取石子的时候,先选择硬币中的一堆,然后可以从堆中取走任意数量的硬币。

当所有的堆为空时,游戏结束。最后取子者(即能够取走最后一堆中剩下的所有硬币)获胜。

注意:游戏是明智进行的,即两个玩家都是以自己最优进行的。What should I do?我也很无奈呀。

不要纠结就是上呀:

我们先考虑特殊情况(这是一般求解问题的重要原则:为了深入理解呵强化直觉力,往往考虑小的或特殊清形。然后,为了一般地解决问题再努力扩展你的想法,感觉这个对构造问题也是很有帮助)。

特殊情况:

如果一开始只有一堆(n1):那么1号取完n1,win,游戏结束。

如果一开始只有两堆(n1,n2):那么对于1号来说,他不关心n1,n2,他关心的是n1,n2是否相等。

如果n1≠n2,那么1号取多的那一堆,使得两堆相等,等2号来取的时候,2号取完只会产生两种情况:①:存在两堆不相等 ②:只有一堆了。

对于②:一号win,游戏结束。

对于①,一号继续构造成两堆相等,一直如此,会变成状态②,一号win.

讲到这里还是蛮简单的嘛~

好,我们去考虑一般情况!拿起纸和笔一起啊~

哦,等等我说个过渡,太直接感觉不好。

过渡:

我们知道对于一个十进制数,都有一个对应的二进制数,比如11:1011。我把每堆分成几个子堆(其实没分!其实没分!其实没分!只是我们假想分了!),怎么分呢?

就是应用刚刚说的拆成2的非负次幂的数[1(2^0),2(2^1),4(2^2)....2^x],11就拆成了8+2+1=11.

有什么用呢?

在2-堆 Nim取石子游戏中,各种大小的子堆的总数只能是0,1,2(废话,总共只有2堆)。

考虑各种大小的子堆的总堆数是偶数是什么情况?那么不就是两个堆相等嘛,2号赢的情况!我相信,在这里感觉来了,如果前提不是2-堆而是k-堆,而各种大小的子堆的总堆数都是偶数?(希望我不是沉浸在自己的世界里)

重点:

现在考虑各堆大小为n1,n2...nk的一般Nim取石子游戏。将每一个数ni表示成2的非负次幂的数(11->1011)

我们说(不是我说的,是数学家说的)Nim取子游戏是平衡的。(这里跨度有点大,但是感觉这里还是自己理解就好。)

于是我们有1号能够在非平衡Nim取子游戏中取胜,2号能够在平衡Nim取子游戏中取胜。

如果局势是非平衡的状态,那么1号可以从一个堆中取石子,留给2号平衡的状态。而2号怎么做都会构成非平衡状态,从而1号win;反之,同理。

我们举个例子有4个堆:7,9,12,15

堆大小 2^3=8 2^2=4 2^1=2 2^0=1
7 0 1 1 1
9 1 0 0 1
12 1 1 0 0
15 1 1 1 1

显然是非平衡的,3位,2位,0位非平衡,也就是1号会赢。

那么也就是说1号怎么搞构造成平衡呢?

有:

从12选11,剩:0001,满足

从9取5, 剩:0100,满足

从15取13,剩0010,满足

that's all, thanks!

随机推荐

  1. 【统计学习】主成分分析PCA(Princple Component Analysis)从原理到实现

    [引言]--PCA降维的作用 面对海量的.多维(可能有成百上千维)的数据,我们应该如何高效去除某些维度间相关的信息,保留对我们"有用"的信息,这是个问题. PCA给出了我们一种解决 ...

  2. response 后刷新页面,点击按钮后,禁用该按钮

    一,正常的点击按钮后,将其灰显,全部执行完毕再正常显示. this.btnSave.Attributes.Add("onclick", "if (typeof(Page_ ...

  3. Java获取时间与系统时间相差8小时终极解决方案

    一.在取日期以前设置一下时区 TimeZone tz = TimeZone.getTimeZone(“ETC/GMT-8″);TimeZone.setDefault(tz); 此种方法适用于单次快速获 ...

  4. HDU 2191

    思路:简单动态规划,多重背包转化成0 1背包问题 #include<stdio.h> #include<string.h> int a[101][2001],rcw[2001] ...

  5. jqgrid表格列动态加载的实现

    选中几个测点名,在表格中就显示几列. 具体代码如下: function reloadGrid(postData){ $('#gridTable').jqGrid('GridUnload'); var ...

  6. linux groupmems命令

    Because users group membership is defined in two different locations, it can be difficult to find ou ...

  7. Selenium2Library使用Remote功能(转载并更新)

    在selenium2library库的open browser中,除了我们常用的url,browser外,还有几个不常用的参数.如:remote_url的用法 1.下载selenium-server- ...

  8. vue表单校验提交报错TypeError: Cannot read property &#39;validate&#39; of undefined

    TypeError: Cannot read property 'validate' of undefined at VueComponent.submitForm (plat_users.html: ...

  9. 2--JAVA+Maven+TestNG搭建接口测试框架搭建

    1.配置JDK 2.安装Eclipse以及TestNG Eclipse下载地址:http://beust.com/eclipse TestNG安装过程:输入网址:http://beust.com/ec ...

  10. bzoj千题计划237:bzoj1492: [NOI2007]货币兑换Cash

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1492 dp[i] 表示 第i天卖完的最大收益 朴素的dp: 枚举从哪一天买来的在第i天卖掉,或者是不 ...