GMA Round 1 三角形

传送门

三角形

　　在△ABC中已知$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求$cos\frac{A}{2}*cos\frac{B}{2}*cos\frac{C}{2}$的最小值。保留3位小数。

$$sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=4*sinA*sinB*sinC$$
$$4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$$
$$=2cos\frac{A}{2}(cos\frac{B+C}{2}+cos{B-C}{2})$$
$$=sinA+2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$$
$$=sinA+sinB+sinC$$
$$≥3\sqrt[3]{sinA*sinB*sinC}$$
$$=3\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{8}}$$
$$=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}≥\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

　　定位：中等题