YY的GCD 莫比乌斯反演

～～～题面～～～

题解：

$ans = \sum_{x = 1}^{n}\sum_{y = 1}^{m}\sum_{i = 1}^{k}[gcd(x, y) == p_{i}]$其中k为质数个数
　　　　$$ans = \sum_{i = 1}^{k}\sum_{x = 1}^{n}\sum_{y = 1}^{m}[gcd(x, y) == p_{i}]$$
　　　　设$f(d)$表示$x$从$1$到$n$，$y$从$1$到$m$，$gcd == d$的个数，$g(d)$表示相同条件下$d | gcd$（即$gcd$为$d$的倍数）的个数
　　　　那么$$f(d) = \sum_{x = 1}^{n}\sum_{y = 1}^{m}[gcd(x, y) == d]$$,$$g(d) = \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor$$
　　　　因为$$g(x) = \sum_{x|d}^{min(n, m)}f(d)$$
　　　　所以反演一下。
　　　　$$f(x) = \sum_{x | d}^{min(n, m)}\mu(\frac{d}{x})g(d)$$
　　　　那么$ans = \sum_{i = 1}^{k}f(p_{i})$
　　　　$$= \sum_{i = 1}^{k}\sum_{x | d}^{min(n, m)}\mu(\frac{d}{x})g(d)$$
　　　　改成直接枚举系数
　　　　$$= \sum_{i = 1}^{k}\sum_{d = 1}^{\lfloor{\frac{min(n, m)}{p_{i}}}\rfloor}\mu(d)g(dp_{i})$$
　　　　$$= \sum_{i = 1}^{k}\sum_{d = 1}^{\lfloor{\frac{min(n, m)}{p_{i}}}\rfloor}\mu(d)\lfloor{\frac{n}{dp_{i}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{dp_{i}}\rfloor}}$$<---枚举每个$\mu(d)分别被每个质数统计了几次$
　　　　$$= \sum_{T = 1}^{min(n, m)} \lfloor{\frac{n}{T}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{T}}\rfloor\sum_{k|T}{\mu(\frac{T}{k})}$$<---枚举每个$\lfloor{\frac{n}{T}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{T}}\rfloor$会给哪些$\mu$做贡献（哪些$\mu$会在某次被统计$\lfloor{\frac{n}{T}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{T}}\rfloor$次）
　　　　然后暴力枚举质数和系数，给对应的$\mu$做贡献（质数$p_{i}$给它的倍数做贡献），统计前缀和，对前面的$\lfloor{\frac{n}{T}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{T}}\rfloor$进行整数分块处理

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define AC 10000100
 #define LL long long
 int n, m, tot, t;
 int prime[AC], mu[AC];
 LL s[AC], ans;
 bool z[AC];

 inline int read()
 {
     int x = ;char c = getchar();
     while(c > '' || c < '') c = getchar();
     while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
     return x;
 }

 void pre()
 {
     int now;
     mu[] = ;
     for(R i = ; i <= ; i++)
     {
         if(!z[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -;
         for(R j = ; j <= tot; j++)
         {
             now = prime[j];
             if(i * now > ) break;
             z[i * now] = true;
             if(!(i % now)) break;
             mu[now * i] = -mu[i];
         }
     }
     int p;
     for(R i = ; i <= tot; i++)//枚举质数
     {
         p = prime[i];//卡常
         for(R j = p; j <= ; j += p) //枚举倍数
             s[j] += mu[j / p];//or j = 系数, s[j * prime[i]] += mu[j];
     }
     for(R i = ; i <= ; i++) s[i] += s[i - ];
 }

 void work()
 {
     t = read();
     while(t--)
     {
         int pos = ;
         ans = ;
         n = read(), m = read();
         int b = min(n, m);//这里要取min！！！
         for(R i = ; i <= b; i = pos + )
         {
             pos = min(n / (n / i), m / (m / i));
             ans += (LL) (n / i) * (LL) (m / i) * (LL) (s[pos] - s[i - ]);//error 只有ans是LL是不够的
         }
         printf("%lld\n", ans);
     }
 }

 int main()
 {
 //    freopen("in.in", "r", stdin);
     //freopen("YYnoGCD.in", "r", stdin);
     //freopen("YYnoGCD.out", "w", stdout);
     pre();
     work();
     //fclose(stdin);
     //fclose(stdout);
     return ;
 }