[SHOI2007] 书柜的尺寸思维题+Dp+空间优化

Online Judge：Luogu-P2160

Label：思维题，Dp，空间优化

题面：

题目描述

给$N$本书，每本书有高度$Hi$,厚度$Ti$。要摆在一个三层的书架上。

书架的宽是每层书厚度和的最大值。书架的高度是每层最高书的高度之和。

求如何放书，使得书架的面积最小。

输入

第一行一个整数$n$，表示书本的个数。

接下来$n$行，每行2个整数，表示每本书的高度和厚度。

输出

输出一个整数，表示书架的最小面积。

样例

Input

4

220 29

195 20

200 9

180 30

6

256 20

255 30

254 15

253 20

252 15

251 95 2

25 25 32 32 25

5 1

25 26 25 26 25

0 0

Output

18000

29796

提示

每层书架都必须有书。

样例1：第一本书在第一层，第二本、第三本书在第二层，第四本书在第三层！

高度是220+200+180=600，宽度为max(29,29,30)=30，总面积18000。

对于100%的数据，n的范围$[3,70]$,h[i]的范围$[150,300]$,t[i]的范围$[1,30]$。

题解

首先注意到一点，高度最高的那本书，不论我们把它放在1、2、3层，它都会成为它那一层的最高。所以不妨先确定下这本书，把这本高度最高的书放在第一层，那么第一层在高度上对答案的贡献就可以确定为这个最大高度了。

如何去安排上面两层使得面积最小呢。现在存在两维——高度和宽度，我们尝试利用Dp消掉其中一个来简化问题。

1.定义

定义状态$dp[i][p1][p2]$表示，已经摆放好了前$i$本书（注意到摆书的顺序对答案是没有影响的），第二层剩余的宽度为$p1$，第三层剩余的宽度为$p2$，此时二三两层加起来的总高度最小能为多少。

2.转移

等等，这样该如何转移呢？按常规转移思路来说应该还得记录下其中一层的高度，不然我现在放的书比之前放在这一层的那本书高度要大时，理应更新这一层在高度上对答案的贡献才对，但我此刻却不知道之前这一层的高度是多少。

解决方案不难想到，我们可以直接从大到小排序高度，那么假如这本书是当前层所放的第一本书，那么这一层在高度上对答案的贡献就确定了(后面不会再有书比现在的书高了)。

这样我们就可以利用填表进行转移勒：

初态：$dp[i][p1][p2]=$INF，$dp[1][0][0]=$1。

inline void Do(int &x,int y){if(x>y)x=y;} 

枚举i,j,k{

if(a[i].w<j)Do(dp[j][k],dp[j-a[i].w][k]);

else if(j==a[i].w)Do(dp[j][k],dp[0][k]+a[i].h);//i是第二层放的第一本书

if(a[i].w<k)Do(dp[j][k],dp[j][k-a[i].w]);

else if(k==a[i].w)Do(dp[j][k],dp[j][0]+a[i].h);//i是第三层放的第一本书

}

终态：枚举$p1,p2$，$ans=max(ans,H*W)$，其中$H=dp[n][p1][p2]+Maxheight$，$W=max(p1,max(p2,Lim-p1-p2)$，$Lim$表示所有书的宽度之和。

3.空间优化

还有一个问题就是空间显然会炸。

第一种解决方案：根据上面的转移顺序可以知道，对于第$i$本书，只会用到第$i-1$本书的状态，所以显然可以把第一维给滚动了。

第二种解决方案：但也可以直接去掉这一维而无需滚动。但是转移顺序得稍微调整一下，我们上面枚举的$j,k$得从大到小枚举，这和01背包倒着循环是一个道理。

4.一点时间上的小优化

前面枚举$j,k$的上限不必为$Lim$（所有书本的宽度总和），可以用前缀和来代替，从而省去很多无用的枚举。

综上此做法时间复杂度为$O(N*Lim*Lim)$，其中$N<=70,Lim<=2100$。

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF=1890000;

inline int read(){}

int n,m,Lim;

int dp[2200][2200],sum[75];

struct node{int h,w;}a[75];

inline bool cmp(node x,node y){return x.h>y.h;}

inline void Do(int &x,int y){if(x>y)x=y;}

int main(){

	n=read();

	for(register int i=1;i<=n;i++){

		a[i].h=read(),a[i].w=read();

		Lim+=a[i].w;

	}

	sort(a+1,a+n+1,cmp);

	for(register int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i].w;

	for(register int i=0;i<=Lim;i++)for(register int j=0;j<=Lim;j++)dp[i][j]=INF;

    dp[0][0]=0;

	for(register int i=2;i<=n;i++){

		for(register int j=sum[i];j>=0;j--)for(register int k=sum[i];k>=0;k--){

			if(a[i].w<j)Do(dp[j][k],dp[j-a[i].w][k]);

			else if(j==a[i].w)Do(dp[j][k],dp[0][k]+a[i].h);

			if(a[i].w<k)Do(dp[j][k],dp[j][k-a[i].w]);

			else if(k==a[i].w)Do(dp[j][k],dp[j][0]+a[i].h);

		}

	}

	int ans=INF;

	for(register int i=1;i<=Lim;i++)for(register int j=1;j<=Lim;j++){

		if(dp[i][j]==INF)continue;

		int H=dp[i][j]+a[1].h,W=max(Lim-i-j,max(i,j));

		Do(ans,H*W);

	}

	printf("%d\n",ans);

}

END

当题目中存在多种决定因素时，可以考虑使用Dp求最值来消去其中的一维或多维。

通过排序等方法来改变转移顺序，从而简化问题。