[Bzoj1297][Scoi2009 ]迷路 （矩阵乘法 + 拆点）

1297: [SCOI2009]迷路

---

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 1385  Solved: 993
[Submit][Status][Discuss]

Description

---

windy在有向图中迷路了。 该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。 现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？ 注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

Input

---

第一行包含两个整数，N T。 接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。 第i行第j列为'0'表示从节点i到节点j没有边。 为'1'到'9'表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

---

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

Sample Input

---

【输入样例一】

---

【输入样例二】

Sample Output

---

【输出样例一】

---

【样例解释一】

->->

---

【输出样例二】

---

HINT

---

30%的数据，满足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。 100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

分析：

---

  先用dp的思想分析可以分析出转移方程dp[i][t] = ∑dp[j][t  -  time（i，j）]；但是t太大，并且时间也不允许；

  想了一下发现转移方程是固定的，可以很自然联想矩阵乘法 + 快速幂。

  但是写的时候出现困难了，发现每个点对间有些彼此到达时间各不相同不好处理。于是就困住了

正解：

---

 

可以把一个点拆出9个虚拟结点出来，node[i][j] 向 node[i][j + ]点向虚拟结点连边为1，然后所有到达这个点的都连边向node[i][],所有以这个点出发能到距离为j的点q从node[i][j - ]连边1向node[q][]；

于是原图换成了一个10 * 10的矩阵，矩乘 + 快速幂求出即行。

复杂度还是很低的。

矩阵乘法：

---

其实关于dp的东西如果发现是固定转移并且是刷表什么的，都可以联想到转换成矩乘来做。

AC代码：

---

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
using namespace std;
const int mod = ;
int n;
long long t;
struct fi{
    int data[][];
    fi(){memset(data,,sizeof(data));
    }
}A,T;
inline fi operator * (fi & a,fi & b){
    fi t;
    for(int i = ;i < n * ;i++){
        for(int j = ;j < n * ;j++){
            t.data[i][j] = ;
            for(int k = ;k < n * ;k++){
                t.data[i][j] += a.data[i][k] * b.data[k][j];
            }
            if(t.data[i][j] >= mod)t.data[i][j] %= mod;
        }
    }
    return t;
}
inline fi operator +(fi & a,fi & b){
    fi t;
    for(int i = ;i < n * ;i++){
        for(int j = ;j < n * ;j++){
            t.data[i][j] = a.data[i][j] + b.data[i][j];
            if(t.data[i][j] >= mod)t.data[i][j] %= mod;
        }
    }
    return t;
}
inline void cmd(fi & A,fi & T,long long k){
    while(k){
        if(k & 1LL)A = A * T;
        T = T * T;
        k >>= 1LL;
    }
    return;
}
char str[];
void build(){
    scanf("%d %lld",&n,&t);
    int x;
    for(int i = ;i < n;i++){
        scanf("%s",str);
      for(int j = ;j < n;j++){
         x = str[j] - '';
         if(!x)continue;
         x -= ;
         T.data[i *  + x][j * ] = ;
      }
      for(int j = ;j < ;j++){
        T.data[i *  + j][i *  + j + ] = ;
      }
    }
    A.data[][] = ;
     cmd(A,T,t);
    printf("%d\n",A.data[][(n - ) * ]);
}
int main(){
    build();
}