最小生成数kruskal算法和prim算法
定义
连通图:在无向图中,若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通,则称该无向图为连通图。
强连通图:在有向图中,若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通,则称该有向图为强连通图。
连通网:在连通图中,若图的边具有一定的意义,每一条边都对应着一个数,称为权;权代表着连接连个顶点的代价,称这种连通图叫做连通网。
生成树:一个连通图的生成树是指一个连通子图,它含有图中全部n个顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边,如果生成树中再添加一条边,则必定成环。
最小生成树:在连通网的所有生成树中,所有边的代价和最小的生成树,称为最小生成树。
kruskal算法
此算法可以称为“加边法”,初始最小生成树边数为0,每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边,加入到最小生成树的边集合里。
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序;
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林;
3. 按权值从小到大选择边,所选的边连接的两个顶点ui,viui,vi,应属于两颗不同的树,则成为最小生成树的一条边,并将这两颗树合并作为一颗树。
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。
prim算法
此算法可以称为“加点法”,每次迭代选择代价最小的边对应的点,加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始,逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
1. 图的所有顶点集合为VV;初始令集合u={s},v=V−uu={s},v=V−u;
2. 在两个集合u,vu,v能够组成的边中,选择一条代价最小的边(u0,v0)(u0,v0),加入到最小生成树中,并把v0v0并入到集合u中。
3. 重复上述步骤,直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。
kruskal算法:
#include <iostream>
#include <list>
#include <vector>
#include <algorithm> const int INFINITE = 0x7FFFFFFF;
const int VERTEX = ;
const char szVertex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' }; struct stEdge
{
int u;
int v;
int weight; stEdge(int iu, int iv, int iweight):u(iu),v(iv),weight(iweight) {} friend bool operator<(const stEdge &a, const stEdge &b) { return a.weight < b.weight; }
}; void createGraph(int (*g)[VERTEX])
{
for (int i = ; i < VERTEX; i++)
{
for (int j = ; j < VERTEX; j++)
{
g[i][j] = INFINITE;
}
}
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
} void initEdges(std::vector<stEdge> &edges, const int (*g)[VERTEX])
{
for (int i = ; i < VERTEX; ++i)
{
for (int j = i+; j < VERTEX; ++j)
{
edges.push_back(stEdge(i,j,g[i][j]));
}
}
std::sort(edges.begin(), edges.end(), std::less<stEdge>());
} bool notSameTree(int u, int v, std::vector<std::list<int> > &trees)
{
int uindex = -, vindex = -; for (int i = ; i < VERTEX; ++i)
{
if (std::find(trees[i].begin(), trees[i].end(), u) != trees[i].end())
{
uindex = i;
}
if (std::find(trees[i].begin(), trees[i].end(), v) != trees[i].end())
{
vindex = i;
}
} if (uindex != vindex)
{
trees[uindex].splice(trees[uindex].end(), trees[vindex]);
return true;
} return false;
} void kruskal(const int (*g)[VERTEX])
{
std::vector<stEdge> edges;
initEdges(edges, g); std::vector<std::list<int> > trees(VERTEX);
for (int i = ; i < VERTEX; ++i)
{
trees[i].push_back(i);
} for (auto e : edges)
{
if (notSameTree(e.u, e.v, trees))
{
std::cout << szVertex[e.u] << "---" << szVertex[e.v] << std::endl;
}
}
} int main()
{
int g[VERTEX][VERTEX] = {}; createGraph(g); kruskal(g); return ;
}
prim算法:
#include <iostream>
#include <list>
#include <vector>
#include <algorithm> const int INFINITE = 0x7FFFFFFF;
const int VERTEX = ;
const char szVertex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' }; struct stEdge
{
int index;
int weight;
}; void createGraph(int (*g)[VERTEX])
{
for (int i = ; i < VERTEX; i++)
{
for (int j = ; j < VERTEX; j++)
{
g[i][j] = INFINITE;
}
}
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
g[][] = ; g[][] = ; g[][] = ;
} int minIndex(const stEdge *weightArr, int len)
{
int min = INFINITE;
int idx = -; for (int i = ; i < len; ++i)
{
if (weightArr[i].weight != && min > weightArr[i].weight)
{
min = weightArr[i].weight;
idx = i;
}
} return idx;
} void prim(const int (*g)[VERTEX], int index)
{
stEdge weightArr[VERTEX]; weightArr[index].weight = ;
weightArr[index].index = index;
for (int i = ; i < VERTEX; ++i)
{
if (i != index)
{
weightArr[i].index = index;
weightArr[i].weight = g[index][i];
}
} for (int i = ; i < VERTEX; ++i)
{
int nextIndex = minIndex(weightArr, VERTEX);
if (nextIndex != -)
{
std::cout << szVertex[weightArr[nextIndex].index] << "---" << szVertex[nextIndex] << std::endl; weightArr[nextIndex].weight = ;
weightArr[nextIndex].index = nextIndex;
for (int j = ; j < VERTEX; ++j)
{
if (weightArr[j].weight != && g[nextIndex][j] < weightArr[j].weight)
{
weightArr[j].index = nextIndex;
weightArr[j].weight = g[nextIndex][j];
}
}
}
}
} int main()
{
int g[VERTEX][VERTEX] = {}; createGraph(g); prim(g, ); return ;
}
转载自:https://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/51908175
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