51NOD5213A 【提高组/高分-省选预科 第一场【M】】序列

小 Y 酷爱的接龙游戏正是这样。玩腻了成语接龙之后，小 Y 决定尝试无平方因子二元合数接龙，规则如下：

现有 \(n\) 个不超过 \(K\) 的合数，每个合数 \(a\) 均可表示为 \(a=pq(p \lt q)\)。

若 \(a=p_1q_1(p_1<q_1),b=p_2q_2(p_2<q_2)\)，当且仅当 \(q_1=p_2\) 时 \(b\) 能接在 \(a\) 后面。

请问从给定的这 \(n\) 个数中选数接龙，最长可以形成一个包含多少数的接龙序列？

\(1 \le n \le 50000,1 \le K \le 10^6\)

签到题（可我却签了 \(1\) 个小时的到）

首先，我们可以用线性筛做到 \(O(K\log{K})\) 的时间复杂度内分解 \(2 \sim K\) 的所有满足 \(a=pq\) 的数以及它们的 \(p,q\)。

暴力的做法是我们排序，然后当遍历到了 \(i\)，就查找所有 \(j\)，使得 \(p_j=q_i\)。然后暴力统计。时间复杂度不会算。

然后发现查找 \(j\) 可以先查找第一个 \(j\) 然后二分做到 \(O(\log n)\)。

然后发现查找 \(j\) 可以预处理做到 \(O(1)\)。

如果你真这么写，也许只有 \(60\) 分。

最后我们发现，暴力时我们搜索了许多重复子问题，而重复子问题可以使用动态规划进行优化，这里直接写的是记忆化搜索。

然后就有了一个 \(100\) 分算法。

#include <bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long
using namespace std;

const int VSIZE = 1e6+5,N = 50005;

bool vis[VSIZE];
int prime[VSIZE],tot;
int n;
pair<int,int> cj[VSIZE];
int first[VSIZE];

void sieve(){
	for(int i=2;i<=1e6;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++tot]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=1e6;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		for(int j=i;j<=tot&&prime[i]*prime[j]<=1e6;j++){
			cj[prime[i]*prime[j]].first=(prime[i]);
			cj[prime[i]*prime[j]].second=(prime[j]);
		}
	}
}

pair<int,int> chai(int x){
	return cj[x];
}

pair<int,int> a[N];
int nowt;
vector<pair<int,int> > now;
bool visited[N];
int ans;
int f[N];

int dfs(int i){
	visited[i]=1;
	if(f[i]){
		return f[i];
	}
	f[i]=1;
	int second = a[i].second;
	int l = first[second];
	if(l>0){
		for(int j=l;a[j].first==second;j++){
			if(a[j].first!=second){
				break;
			}
			f[i]=max(f[i],dfs(j)+1);
		}
	}
	return f[i];
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	sieve();
	cin>>n;
	memset(first,-1,sizeof(first));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int v;
		cin>>v;
		a[i]=chai(v);
		if(a[i].first>a[i].second){
			swap(a[i].first,a[i].second);
		}
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(first[a[i].first]!=-1){
			first[a[i].first]=min(first[a[i].first],i);
		}
		else{
			first[a[i].first]=i;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!visited[i])
			dfs(i);
	}
	cout<<*max_element(f+1,f+n+1)<<'\n';
	return 0;
}