最小生成树（Prim算法+Kruskal算法）

什么是最小生成树（MST）？

给定一个带权的无向连通图，选取一棵生成树（原图的极小连通子图），使生成树上所有边上权的总和为最小，称为该图的最小生成树。

求解最小生成树的算法一般有这两种：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法（普里姆算法）

图的存贮结构采用邻接矩阵。此方法是按各个顶点连通的步骤进行，需要用一个顶点集合，开始为空集，以后将以连通的顶点陆续加入到集合中，全部顶点加入集合后就得到所需的最小生成树。

简单描述：

　　1.初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（作为起始点），E_new = {},为空。

　　2.在边集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）。将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中。

　　3.重复操作2直至V_new = V。

代码展示：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=;

int G[N][N];//邻接矩阵
int Lowest[N];//表示和已选顶点集Vnew的最小距离，Lowest[i]=0表示点i已经在Vnew中
int n,m;

int prim()
{
    int Num=;//最小生成树权值

    for(int i=;i<=n;i++)//选取第一个点开始
        Lowest[i]=G[][i];//取第一行权值

    for(int i=;i<n;i++)//找到新顶点加入（n-1个）
    {
        int minid=;
        int mindis=INF;
        for(int j=;j<=n;j++)//找到距离最小的
        {
            if(Lowest[j]!=&&Lowest[j]<mindis)
            {
                mindis=Lowest[j];
                minid=j;
            }
        }
        Num+=mindis;
        Lowest[minid]=;//把点minid加入Vnew

        for(int j=;j<=n;j++)//更新Lowest数组
            if(Lowest[j]>G[minid][j])
                Lowest[j]=G[minid][j];
    }
    return Num;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(G,0x3f,sizeof(G));//初始化为最大值
        for(int i=;i<=n;i++)//对角线为0
            G[i][i]=;

        int u,v,w;
        for(int i=;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            G[u][v]=G[v][u]=w;
        }

        int MST=prim();//计算最小生成树总权值

        printf("%d\n",MST);
    }
}

Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）

图的存贮结构采用边集数组，且权值相等的边在数组中排列次序可以是任意的。该方法对于边相对比较多的不是很实用，浪费时间。思想是贪心思想。

方法：将图中的边按其权值由小到大的次序顺序选取，若选边后不形成回路，则保留作为一条边，若形成回路则除去。依次选够(n-1)条边，即得最小生成树。(n为顶点数)

首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列，接着按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并，直到所有的点都属于同一个集合为止。至于怎么合并到一个集合，那么这里我们就可以用到一个工具——-并查集(不知道的同学请移步：Here)。换而言之，Kruskal算法就是基于并查集的贪心算法。

代码展示：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define MAXN 10010
using namespace std;

int Uset[MAXN];//并查集
int Rank[MAXN];//秩
typedef struct{
    int a, b, price;
}Node;
Node edge[MAXN];

int cmp(const void*a, const void *b){
    return ((Node*)a)->price - ((Node*)b)->price;
}

void Init(int n)//并查集初始化
{
    for(int i = ; i < n; i++)
    {
        Rank[i] = ;
        Uset[i] = i;
    }
}

int find(int x)
{
    int root = x;
    while(root != Uset[root]) root = Uset[root];
    while(x != root)
    {
        int t = Uset[x];
        Uset[x] = root;
        x = t;
    }
    return root;
}

void unionSet(int x, int y)
{
    x = find(x);
    y = find(y);
    if(Rank[x] > Rank[y])
        Uset[y] = x;
    else {
        Uset[x] = y;
        if(Rank[x] == Rank[y]) Rank[y]++;
    }
}

int Kruskal(int n, int m)
{
    int nEdge = , res = ;

    qsort(edge, m, sizeof(edge[]), cmp);//将边按照权值从小到大排序
    for(int i = ; i < m && nEdge != n - ; i++)
    {
        if(find(edge[i].a) != find(edge[i].b))//判断当前这条边的两个端点是否属于同一棵树
        {
            unionSet(edge[i].a, edge[i].b);
            res += edge[i].price;
            nEdge++;
        }
    }
    //如果加入边的数量小于m - 1,则表明该无向图不连通,等价于不存在最小生成树
    if(nEdge < n-) res = -;
    return res;
}
int main()
{
    int n, m, ans;//n为村庄的数量，m为边的数量
    while(scanf("%d%d", &n, &m)&&n)
    {
        Init(n);
        for(int i = ; i < m; i++)
            scanf("%d%d%d", &edge[i].a, &edge[i].b, &edge[i].price);

        ans = Kruskal(n, m);
        if(ans == -) printf("?\n");
        else printf("%d\n", ans);
    }
    return ;
}

另外，可以参考：http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/47700237

作者： AlvinZH

出处： http://www.cnblogs.com/AlvinZH/

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