BZOJ2037: [Sdoi2008]Sue的小球(区间DP)

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Description

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

Input

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

Output

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

Sample Input

3 0
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8

Sample Output

0.000

数据范围：
N < = 1000，对于100%的数据。 -10^4 < = xi,yi,vi < = 10^4

HINT

Source

很不错的一道题目

如果我们按正常的DP思路去做的话，不管怎样都需要把时间加到状态里面。

但是这样肯定TLE + MLE

我们考虑消除时间这一维，通过观察不难发现，Sandy走过的路线一定是一段连续的区间，

因此我们考虑用$f[i][j]$表示这一段区间都被选的最大答案

但是这样我们无法表示它当前的位置，

稍加观察不难发现，Sandy拿完这一段区间，一定是在左/右端点，我们把位置加入到状态里面

用$f[i][j][0/1]$分别表示拿了$[i,j]$这段区间后在左边/右边的最大答案

那么转移的时候只需要考虑从哪里转移而来就可以了，

每走一步的损失可以通过前缀和做到$O(1)$查询

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

const int MAXN = ;

inline int read() {

    char c = getchar(); int x = , f = ;

    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}

    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();

    return x * f;

}

int N, X0;

struct Node {

    double x, y, v;

    bool operator < (const Node &rhs) const{

        return x < rhs.x;

    }

}a[MAXN];

double sum[MAXN], w[MAXN][MAXN], f[][MAXN][MAXN];

double dis(int x, int y) {

    return a[y].x - a[x].x;

}

double Query(int x, int y) {

    if(x < ) return sum[N] - sum[y];

    return sum[N] - sum[y] + sum[x];

}

int main() {

    #ifdef WIN32

    freopen("a.in", "r", stdin);

    #endif

    N = read();

    a[] = (Node) {X0 = read(), , };

    for(int i =  ;i <= N; i++) a[i].x = read();

    for(int i = ; i <= N; i++) a[i].y = read();

    for(int i = ; i <= N; i++) a[i].v = read();

    std::sort(a, a + N + );

    sum[] = a[].v;

    for(int i = ; i <= N; i++) sum[i] = sum[i - ] + a[i].v;    

    memset(f, -0x3f, sizeof(f));

    for(int i = ; i <= N; i++)

        if(a[i].x == X0)

            f[][i][i] = f[][i][i] = ;

    for(int len = ; len <= N; len++) {

        for(int i = ; i + len <= N; i++) {

            int j = i + len;

            f[][i][j] = std::max(f[][i + ][j] + a[i].y - dis(i, i + ) * Query(i, j),

                             f[][i + ][j] + a[i].y - dis(i, j) * Query(i, j));

            f[][i][j] = std::max(f[][i][j - ] + a[j].y - dis(i, j) * Query(i - , j - ),

                             f[][i][j - ] + a[j].y - dis(j - , j) * Query(i - , j - ));

        //    printf("%.3lf %.3lf\n", f[0][i][j], f[1][i][j]);

        }

    }

    printf("%.3lf", std::max(f[][][N], f[][][N]) / );

    return ;

}