【简●解】[SDOI2008] Sue的小球

计划着刷$DP$题结果碰到了这样一道论文题，幸好不是太难。

【题目大意】

口水话有点多，所以就直接放链接。传送门

【分析】

看到题首先联想到了曾经做过的关路灯。所以先按$x$值排序，然后进行区间$DP$。

不妨设$f_1[i][j]$，$f_2[i][j]$分别表示从起点出发已射落$i$到$j$这一段彩蛋，当前停留在$i$点,$j$点的最大得分$v$。

考虑 $f_1[i][j]$,即点$i$是当前射击的彩蛋，射击的得分与当前时刻挂钩，但是当前的时刻是不能从$f_1[i][j]$的状态中表示出来的，我们进一步考虑 $f_1[i][j]$的求解。

由于射击$i$的得分是$y_i−t∗v_i$，而$t$等于之前每一步决策移动的时间总和，这样我们就可以把$t∗v_i$在之前的移动中就计算，也就是说每次移动都要把未来会减少的得分计算在内。比如说从$f_1[i+1][j]$推到$f_1[i][j]$，即从$i+1$走到$i$时除了$i+1$到$j$这一段彩蛋外，其它的彩蛋都在下落，将这丢失的分数一并计算到从$i+1$走到$i$中。由于$-t*v_i$已经在之前决策时计算，所以射击时直接加上$y_i$即可。

所以可以先用$sum[]$计算$v_i$的前缀和，然后$DP$方程：

\[f_1[i][j]=y[i]+max(f_1[i+1][j]+Sum(i+1,j)*(x_{i+1}-x_i),f_2[i+1][j]+Sum(i+1,j)*(x_j-x_i)
\]

\[f_2[i][j]=y[i]+max(f_1[i][j-1]+Sum(i,j-1)*(x_{j}-x_{i}),f_2[i][j-1]+Sum(i,j-1)*(x_j-x_{j-1})
\]

然后$O(n^2)$过。

【Code】

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

const int MAX = 1000 + 5;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read(){

	int f = 1, x = 0;char ch;

	do { ch = getchar(); if (ch == '-') f = -1; } while (ch < '0'||ch>'9');

	do {x = x*10+ch-'0'; ch = getchar(); } while (ch >= '0' && ch <= '9');

	return f*x;

}

int n, bj;

double x0, f[3][MAX][MAX], sum[MAX];

struct sakura { double x, y, v; }sak[MAX];

inline bool cmp(sakura a, sakura b) { return a.x < b.x; }

inline double Sum(int l, int r) { return sum[n] - sum[r] + sum[l - 1]; }

inline double ab(double a) { return a < 0 ? -a : a; }

int main(){

	n = read(); ++n, x0 = read();

	sak[1].x = x0, sak[1].y = sak[1].v = 0;

	for (int i = 2;i <= n; ++i) {

		sak[i].x = read();

	}

	for (int  i = 2;i <= n; ++i) {

		sak[i].y = read();

	}

	for (int i = 2;i <= n; ++i) {

		sak[i].v = read();

	}

	sort(sak + 1, sak + 1 + n, cmp);

	for (int i = 1;i <= n; ++i) {

		sum[i] = sum[i - 1] + sak[i].v;

		if (ab(sak[i].x - x0) <= 1e-10 && ab(sak[i].y) <= 1e-10) {

			bj = i;

		}

	}

	memset(f, -INF, sizeof (f));

	f[1][bj][bj] = f[2][bj][bj] = 0.0;

	for (int k = 1;k <= n; ++k) {

		for (int i = 1;i + k <= n; ++i) {

			int j = i + k;

			f[1][i][j] = sak[i].y + max(f[1][i + 1][j] - (sak[i + 1].x - sak[i].x) * Sum(i + 1, j), f[2][i + 1][j] - (sak[j].x - sak[i].x) * Sum(i + 1, j));

			f[2][i][j] = sak[j].y + max(f[1][i][j - 1] - (sak[j].x - sak[i].x) * Sum(i, j - 1), f[2][i][j -1] - (sak[j].x - sak[j - 1].x) * Sum(i, j - 1));

		}

	}

	printf("%.3lf", max(f[1][1][n], f[2][1][n]) / 1000.0);

	return 0;

}

后来听人说这是未来$DP$？？？