设 $f\in C[0,+\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\bex \vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}. \eex$$ 证明; $f(+\infty)=0$.

证明: 记 $$\bex F(x)=e^{ax}\int_0^x f(t)\rd t, \eex$$ 则 $$\bex F'(x)=e^{ax}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}, \eex$$ $$\bex \vlm{x}\cfrac{F'(x)}{ae^{ax}}=\cfrac{1}{a}\vlm{x} \sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t} \eex$$ 存在. 由 L'Hospital 法则, $$\bex \vlm{x}\int_0^x f(t)\rd t =\vlm{x}\cfrac{F(x)}{e^{ax}} =\vlm{x}\cfrac{F'(x)}{ae^{ax}} \eex$$ 存在. 故 $$\bex \vlm{x}f(x)=\vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t} -a\vlm{x}\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 存在. 由 $$\bex \vlm{x}\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 存在即知 $f(+\infty)=0$ (否则, $f(+\infty)=A\neq 0$. 不妨设 $A>0$, 而 $$\bex \exists\ X>0,\st x\geq X\ra f(x)\geq \cfrac{A}{2}, \eex$$ $$\beex \bea \int_0^x f(t)\rd t &=\int_0^Xf(t)\rd t+\int_X^x f(t)\rd t\quad(x\geq X)\\ &\geq \int_0^Xf(t)\rd t+\cfrac{A}{2} (x-X)\\ &\to \infty\quad (x\to\infty). \eea \eeex$$ 这是一个矛盾).

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-L'Hospital 法则的应用)的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

    (2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\b ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])

    设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

    $$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{ ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

    (1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &a ...

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

    $$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

    For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{ ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

    设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com $\sin x-x\cos x=0$ 的根的估计)

    (2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)

    试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$ 证明 (from Hanssch ...

  10. [再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)

    设 $A,B\in \bbR^{n\times n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.

随机推荐

  1. 模块简介:(random)(xml,json,pickle,shelve)(time,datetime)(os,sys)(shutil)(pyYamal,configparser)(hashlib)

    Random模块: #!/usr/bin/env python #_*_encoding: utf-8_*_ import random print (random.random()) #0.6445 ...

  2. python 结巴分词学习

    结巴分词(自然语言处理之中文分词器) jieba分词算法使用了基于前缀词典实现高效的词图扫描,生成句子中汉字所有可能生成词情况所构成的有向无环图(DAG), 再采用了动态规划查找最大概率路径,找出基于 ...

  3. .NET CORE学习笔记系列(4)——ASP.NET CORE 程序启用SSL

    一.什么是SSL? 1.概念: SSL(Secure Sockets Layer 安全套接层),及其继任者传输层安全(Transport Layer Security,TLS)是为网络通信提供安全及数 ...

  4. SP11470 TTM - To the moon

    嘟嘟嘟 主席树+区间修改. 以为是水题,写着写着发现区间修改标记下传会出问题,然后想了想发现以前做的只是单点修改. 那怎么办咧? 然后题解交了我标记永久化这个神奇的东西. 特别好理解,就是修改的时候直 ...

  5. go笔记-值传递、引用传递

    eg: func sliceModify(slice []int) { // slice[0] = 88 slice = append(slice, ) } func main() { slice : ...

  6. C语言中可变参数的函数(三个点,“...”)

    C语言中可变参数的函数(三个点,“...”) 本文主要介绍va_start和va_end的使用及原理. 在以前的一篇帖子Format MessageBox 详解中曾使用到va_start和va_end ...

  7. Leetcode 226. Invert Binary Tree(easy)

    Invert a binary tree. 4 / \ 2 7 / \ / \ 1 3 6 9 to 4 / \ 7 2 / \ / \ 9 6 3 1 Trivia:This problem was ...

  8. supervisor 守护者进程配置小记

    安装 Supervisor 联网状态下,官方推荐首选安装方法是使用easy_install,它是setuptools(Python 包管理工具)的一个功能.所以先执行如下命令安装 setuptools ...

  9. centos系统java后台运行(xshll关掉不至于jar程序结束)

    这样执行,就可以后台运行java程序 nohup java -Dfile.encoding=UTF-8 -jar xxx.jar  & 后台内容在该目录下nohup .out文件内,netst ...

  10. Spring Boot的web开发

    web开发的自动配置类:org.springframework.boot.autoconfigure.web.WebMvcAutoConfiguration 自动配置的ViewResolver 视图的 ...