经常在代码中看到Quaternions,也知道它是用来表达三维空间的旋转的,但一直没有更深的理解。这两天终于花点时间看了看维基百科的介绍,算是多了解了点。做个记录吧!

质上而言,四元数是一个数学概念,它可以用复数的形式表达为a + b*i + c*j + d*k. 再加上 i*i = j*j = k*k = i*k*j = -1的规则,就可以定义四元数的各种运算。

它最广泛的用途是在计算机图形学中用来表达三维空间的旋转操作,是除了旋转矩阵和欧拉角以外的另外一种表达方式 。

根据欧拉旋转定理,刚体在三维空间的任意一组旋转可等同于绕某一轴 (ux, uy, uz) 旋转某一角度 theta. 这一信息可用四元数表达为q = cos(1/2* theta) + (ux*i + uy*j + uz*k) sin(1/2 * theta).同样,这意味着任给一个四元数(a, b, c, d),我们可以反算出其旋转轴和旋转角度. 其中,theta = 2*acos(a), ux = b/sin(1/2*theta), uy = c/sin(1/2*theta), uz = d/sin(1/2*theta).
 
用四元数表达旋转,有很多优异的性质。例如,旋转n倍的theta角就是q的n次方,旋转反向的theta角就是q的共轭,等等。
 
特别的,和旋转矩阵相比,四元数表达有五个优势:
1. 它只需要4个参数,而旋转矩阵需要9个(当然,这9个参数并不是互相独立的,所以我们还需要另加5个方程定义矩阵的归一性和正交性)。
2. 给定任意一个轴和旋转角度,人们可以更方便的构造出四元数。用矩阵或是欧拉角都会更麻烦一些。
3. 和矩阵相比,四元数对数值计算的偏差不敏感,数值上的一个小误差只是旋转位姿的一个小变化而已。但对矩阵而言,这可能是致命的。因为这可能导致矩阵的不正交,从而使旋转矩阵失效。
4. 在计算机游戏和动画领域,四元数更易实现相机角度的连续微调,并能避免欧拉角表达带来的死锁问题(Gimbol Lock)。
5. 计算性能稍占优。有人对矩阵和四元数表达进行旋转操作的计算次数进行了比较。结果是,对旋转给定的向量而言,矩阵表达的效率稍占优势。但对于一连串的旋转操作而言,四元数表达更省时间。另外,四元数表达所需要的存储空间更小。
 
四元数表达和矩阵表达可以依照固定的公式进行互相转换。
 
最后,四元数的概念看上去并不等同于“旋量”。后者是更高维空间某数学概念的一个表达。
 

四元数(Quaternions)简介的更多相关文章

  1. [百度空间] [转] 四元数(Quaternions)

    转:四元数(Quaternions) 好吧,我必须承认到目前为止我还没有完全理解四元数,我一度把四元数理解为轴.角表示的4维向量,也就在下午我才从和同事的争辩中理解了四元数不完全是角.轴这么简单,为此 ...

  2. Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 学习笔记之 --- 第二十二章:四元数(QUATERNIONS)

    原文:Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 学习笔记之 --- 第二十二章:四元数(QUATERNIONS) 学习目标 回顾复数,以及 ...

  3. Unity的旋转-四元数,欧拉角用法简介

    当初弄不明白旋转..居然找不到资料四元数应该用轴角相乘...后来自己摸明白了 通过两种旋转的配合,可以告别世界空间和本地空间矩阵转换了,大大提升效率. 每个轴相乘即可,可以任意轴,无限乘.无万向节锁问 ...

  4. Quaternions 四元数

    四元数是一个乱七八糟得到东西还没搞懂搞懂后再补 先添加unity API transform.rotation 是Quaternionlei类并非Vector3向量 不能进行直接转化 那如何将Vect ...

  5. 使用四元数解决万向节锁(Gimbal Lock)问题

    问题 使用四元数可以解决万向节锁的问题,但是我在实际使用中出现问题:我设计了一个程序,显示一个三维物体,用户可以输入绕zyx三个轴进行旋转的指令,物体进行相应的转动. 由于用户输入的是绕三个轴旋转的角 ...

  6. 3D数学基础:四元数与欧拉角之间的转换

    在3D图形学中,最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角,比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点.本文主要归纳了两种表达方式的转换,计算公式采用3D笛卡尔坐标系: 单位四元数可视化为三维矢量加上第四 ...

  7. 四元数(Quaternion)详细讲解以及在图形图像编程中的使用

    关于四元数介绍可以直接看wiki,写的很详细了. 四元数的基本运算:http://www.linuxgraphics.cn/opengl/opengl_quaternion.html,代码有些问题. ...

  8. 四元数与欧拉角(RPY角)的相互转换

    RPY角与Z-Y-X欧拉角 描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种方式.第一种是绕固定(参考)坐标轴旋转:假设开始两个坐标系重合,先将{B}绕{A}的X轴旋转$\gamma$,然后绕{A} ...

  9. 3D游戏与计算机图形学中的数学方法-四元数

    说实话关于四元数这一节真的是不好懂,因为里面涉及到好多数学知识,单说推出来的公式就有很多.不怕大家笑话,对于四元数的学习我足足花了两天的时间,包括整理出这篇文章.在前面一章我写到了“变换”,这也是总结 ...

随机推荐

  1. jQuery validate兼容IE8写法

    最近做项目的时候遇到一个validate插件在IE8下面点击submit按钮没有执行检查的BUG 在chrome和FF,还有IE9以上都可以.百度了好多文章都没有找到解决方法,后面自己测试找到了问题. ...

  2. MS - 2 - 设计包含 min 函数的栈

    定义栈的数据结构,要求添加一个 min 函数,能够得到栈的最小元素. 要求函数 min.push 以及 pop 的时间复杂度都是 O(1). template<typename T> st ...

  3. 采用UDP协议实现PIC18F97J60 ethernet bootloader

    了解更多关于bootloader 的C语言实现,请加我QQ: 1273623966 (验证信息请填 bootloader),欢迎咨询或定制bootloader(在线升级程序). TCP/IP Stac ...

  4. 自己用C语言写dsPIC / PIC24 serial bootloader

    了解更多关于bootloader 的C语言实现,请加我QQ: 1273623966 (验证信息请填 bootloader),欢迎咨询或定制bootloader(在线升级程序). HyperBootlo ...

  5. 阅读Python官方文档心得

    我会每天都阅读一些python的官方文档,并每天更新心得体会. -------------------------------------------------2016.12.08--------- ...

  6. R12_专题知识总结提炼-AR模块

    应收模块简介 应收模块是用来为企业提供应收款管理的模块. 当企业销售一笔商品或者发生其他影响收入和现金的业务的时候,需要在应收模块记账. 本文档以R12为例,11i可参考,只针对简单业务情况考虑,将应 ...

  7. opencv嫁接vlfeat densesift

    #include <opencv2/opencv.hpp> #include <iostream> extern "C" { #include <vl ...

  8. VUE 入门基础(4)

    四,计算属性 基础例子 <div id='example'> <p>0riginal message: "{{message}}"</p> &l ...

  9. centos6升级python2.7

    #下载python #wget http://python.org/ftp/python/2.7.3/Python-2.7.3.tar.bz2 #安装支持https yum install opens ...

  10. kafka生产消息的速度跟什么有关?

    kafka的吞吐量很大,在保证带宽的情况下,网上的一些测试表明3台broker,没有replication,6个partition的情况下,一般的写入速度可以达到300MB/s.参考:kakfa测试 ...