bzoj4316小C的独立集（dfs树/仙人掌+DP）

本题有两种写法，dfs树上DP和仙人掌DP。

先考虑dfs树DP。

什么是dfs树？其实是对于一棵仙人掌，dfs后形成生成树，找出非树边（即返祖边），然后dfs后每条返祖边+其所覆盖的链构成了一个环（很显然覆盖的链互不相交），然后可以确定每条边出现在哪个环中，然后可以解决一些简单的仙人掌DP问题，不用写tarjan了。

这道题的第一种方法就是dfs树DP，题目是求仙人掌的最大独立集。

首先树形DP，没有环应该很好求，有环的情况，考虑记录环上的点的top和end（注意环顶部不用记录，因为环顶部可能属于另一个环底）。然后可以直接DP了，相比于树形DP多记录一维环底部是否选，改成开两个数组，g[i][0/1]表示强制让环底部不选，该点不选/选的最大值，f[i][0/1]表示无所谓让环底部选不选，该点不选/选的最大值。首先对点u，初始化：f[u][1]=1，若不为环底部，则g[u][1]=1。dfs到边u->v，g[u][1]+=g[v][0]，因为无论如何该点选了则儿子、底部势必不选，如果两点不在一个环上，则g[u][0]+=max(f[u][0],f[u][1])，反之g[u][0]+=max(g[v][0],g[v][1])。然后考虑转移f数组，首先f[u][0]+=max(f[v][0],f[v][1])，因为u不选，一切自由，如果u不为环的顶部，则f[u][1]+=f[v][0]，反之，底部也不能选，f[u][1]+=g[v][0]。

贴不贴code也无所谓了，都说了这么多，不过还是贴一个吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=;
int n,m,dep[N],fa[N],tp[N],ed[N],f[N][],g[N][];
vector<int>G[N];
void dfs(int u)
{
    dep[u]=dep[fa[u]]+;
    for(int i=;i<G[u].size();i++)if(!dep[G[u][i]])fa[G[u][i]]=u,dfs(G[u][i]);
}
void walk(int u,int v){int x=v;while(x!=u)tp[x]=u,ed[x]=v,x=fa[x];}
void dp(int u)
{
    f[u][]=;
    if(u!=ed[u])g[u][]=;
    for(int i=;i<G[u].size();i++)
    if(dep[u]+==dep[G[u][i]])
    {
        int v=G[u][i];
        dp(v);
        if(ed[u]!=ed[v])g[u][]+=max(f[v][],f[v][]);else g[u][]+=max(g[v][],g[v][]);
        g[u][]+=g[v][];
        if(tp[v]!=u)f[u][]+=f[v][];else f[u][]+=g[v][];
        f[u][]+=max(f[v][],f[v][]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=,x,y;i<=m;i++)scanf("%d%d",&x,&y),G[x].push_back(y),G[y].push_back(x);
    dfs();
    for(int u=;u<=n;u++)
    for(int i=;i<G[u].size();i++)
    if(dep[u]+<dep[G[u][i]])walk(u,G[u][i]);
    dp();
    printf("%d",max(f[][],f[][]));
}

这题也可以仙人掌DP，当然不需要建立圆方树。tarjan的本质是构建dfs树，然后f[i][0/1]表示当前节点为i，不选/选的最大值，当边是树边时可以直接转移，反之暂时不转移。等到发现其为环的顶部时，然后从底部向顶部推一遍答案。由于是一条链，维护f0和f1表示当前其不选/选的最大值，然后推两遍即可，注意推一遍求f[u][1]时，强制不选底部，即f1=-inf，然后就是裸的树形DP了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=;
int n,m,cnt,dfn[N],low[N],fa[N],f[N][];
vector<int>G[N];
void dp(int u,int v)
{
    int t0,t1,f0=,f1=;
    for(int i=v;i!=u;i=fa[i])t0=f0+f[i][],t1=f1+f[i][],f0=max(t0,t1),f1=t0;
    f[u][]+=f0;
    f0=,f1=-1e9;
    for(int i=v;i!=u;i=fa[i])t0=f0+f[i][],t1=f1+f[i][],f0=max(t0,t1),f1=t0;
    f[u][]+=f1;
}
void tarjan(int u,int pre)
{
    fa[u]=pre,dfn[u]=low[u]=++cnt;
    f[u][]=,f[u][]=;
    for(int i=;i<G[u].size();i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(!dfn[v])tarjan(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
        else if(v!=pre)low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        if(low[v]>dfn[u])f[u][]+=f[v][],f[u][]+=max(f[v][],f[v][]);
    }
    for(int i=;i<G[u].size();i++)if(fa[G[u][i]]!=u&&dfn[u]<dfn[G[u][i]])dp(u,G[u][i]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=,x,y;i<=m;i++)scanf("%d%d",&x,&y),G[x].push_back(y),G[y].push_back(x);
    tarjan(,);
    printf("%d",max(f[][],f[][]));
}