每日一题 - 剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列

题目信息

• 时间： 2019-06-26

• 题目链接：Leetcode

• tag：分治算法 递归

• 难易程度：中等

• 题目描述：

  输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考如下:

     5
    / \
   2   6
  / \
 1   3

示例1:

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例2:

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

提示

1.数组长度<=1000

解题思路

本题难点

• 后序遍历定义： [ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] ，即遍历顺序为 “左、右、根” 。
• 二叉搜索树定义： 左子树中所有节点的值< 根节点的值；右子树中所有节点的值 <根节点的值；其左、右子树也分别为二叉搜索树。

具体思路

根据二叉搜索树的定义，可以通过递归，判断所有子树的 正确性 （即其后序遍历是否满足二叉搜索树的定义） ，若所有子树都正确，则此序列为二叉搜索树的后序遍历。

• 终止条件：当 i≥j ，说明此子树节点数量 ≤1 ，无需判别正确性，因此直接返回 true ；

• 递推工作：

  • 划分左右子树:遍历后序遍历的 [i,j] 区间元素，寻找 第一个大于根节点 的节点，索引记为
    
    m。此时，可划分出左子树区间[i,m−1] 、右子树区间[m,j−1] 、根节点索引 j

  • 判断是否为二叉搜索树

    左子树区间[i,m−1] 内的所有节点都应 <postorder[j] 。而第 1.划分左右子树 步骤已经保证左子树区间的正确性，因此只需要判断右子树区间即可。

    右子树区间[m,j−1] 内的所有节点都应postorder>[j] 。实现方式为遍历，当遇到 ≤postorder[j] 的节点则跳出；则可通过p=j 判断是否为二叉搜索树。

代码

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        return recur(postorder,0,postorder.length-1);
    }
    public boolean recur(int[] postorder,int left,int right){
      //当 i≥j ，说明此子树节点数量 ≤1 ，无需判别正确性，因此直接返回 true
        if(left > right){
            return true;
        }
      //划分左右子树
        int p = left;
      //划分出左子树区间[i,m−1]
        while(postorder[p] < postorder[right]){
            p++;
        }
      //寻找第一个大于根节点的节点，索引记为 m
        int m = p;
      //右子树区间[m,j−1]
        while(postorder[p] > postorder[right]){
            p++;
        }
      //左子树区间[i,m−1] 内的所有节点都应 <postorder[j]
      //右子树区间[m,j−1] 内的所有节点都应postorder[j]
        return p == right && recur(postorder,left,m-1) && recur(postorder,m,right-1);
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N^2) ： 每次调用 recur(i,j) 减去一个根节点，因此递归占用 O(N) ；最差情况下（即当树退化为链表），每轮递归都需遍历树所有节点，占用 O(N) 。
• 空间复杂度 O(N) ： 最差情况下（即当树退化为链表），递归深度将达到 N 。

其他优秀解答

解题思路

辅助单调栈，后序遍历倒序： [ 根节点 | 右子树 | 左子树 ] 。类似 先序遍历的镜像 ，即先序遍历为 “根、左、右” 的顺序，而后序遍历的倒序为 “根、右、左” 顺序。

• 为什么要用单调栈呢，因为往右子树遍历的过程，value是越来越大的，一旦出现了value小于栈顶元素value的时候，就表示要开始进入左子树了。

• 单调栈帮我们记录了这些节点，只要栈顶元素还比当前节点大，就表示还是右子树，要移除，因为我们要找到这个左孩子节点直接连接的父节点，也就是找到这个子树的根，只要栈顶元素还大于当前节点，就要一直弹出，直到栈顶元素小于节点，或者栈为空。栈顶的上一个元素就是子树节点的根。

• 接下来，数组继续往前遍历，之后的左子树的每个节点，都要比子树的根要小，才能满足二叉搜索树，否则就不是二叉搜索树。

代码

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        // 单调栈使用，单调递增的单调栈
        Deque<Integer> stack = new LinkedList<>();
        // 表示上一个根节点的元素，这里可以把postorder的最后一个元素root看成无穷大节点的左孩子
        int pervElem = Integer.MAX_VALUE;
        // 逆向遍历，就是翻转的先序遍历
        for (int i = postorder.length - 1;i>=0;i--){
            // 左子树元素必须要小于递增栈被peek访问的元素，否则就不是二叉搜索树
            if (postorder[i] > pervElem){
                return false;
            }
            while (!stack.isEmpty() && postorder[i] < stack.peek()){
                // 数组元素小于单调栈的元素了，表示往左子树走了，记录下上个根节点
                // 找到这个左子树对应的根节点，之前右子树全部弹出，不再记录，因为不可能在往根节点的右子树走了
                pervElem = stack.pop();
            }
            // 这个新元素入栈
            stack.push(postorder[i]);
        }
        return true;
    }
}