二分图的判定
  • 如果一个图是连通的,可以用如下的染色法判定是否二分图:

    • 我们把X部的结点颜色设为0Y部的颜色设为1

    • 从某个未染色的结点u开始,做BFS或者DFS 。把u染为0,枚举u的儿子v。如果v未染色,就染为与u相反的颜色,如果已染色,则判断uv的颜色是否相同,相同则不是二分图。

    • 如果一个图不连通,则在每个连通块中作判定。

      #include <bits/stdc++.h>
      const int maxn = 505;
      std::vector<int> e[maxn];
      int m,n,color[maxn];
      bool flag;//全局,标记是否有环
      void dfs(int u){
      if(flag) return;//如果已经存在环就没必要接着递归了
      int len = e[u].size();//省点常数
      for(int i = 0; i < len; i++){ //遍历所有相邻顶点,即连着的点
      int v = e[u][i];
      if(color[v]==0){//v还未访问,染色并递归
      color[v] = -color[u];
      dfs(v);
      }
      else if(color[v]==color[u]){
      flag=1;//说明有环
      return;
      }
      }
      } void solve(){
      for(int i = 0; i < n; i++){
      if(color[i] == 0){
      color[i] = 1;
      dfs(i);
      if(flag){
      printf("NOT BICOLORABLE.\n");
      return;
      }
      }
      }
      printf("BICOLORABLE.\n");
      }
      int main(){
      while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
      memset(color, 0, sizeof(color));
      memset(e, 0, sizeof(e));
      for(int i = 0; i < m; i++){
      int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
      e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);
      }
      solve();
      }
      return 0;
      }
最大匹配KM算法
  • 顶标:设顶点 \(X_i\) 的顶标为 \(A[i]\),顶点 \(Y_j\) 的顶标为 \(B[j]\) ,顶点 \(X_i\) 与 \(Y_j\) 之间的边权为 \(w[i][j]\),初始化时,\(A[i]\) 的值为与该点关联的最大边权值,\(B[j]\) 的值为0

  • 相等子图:选择 \(A[i] + B[j] = w[i][j]\) 的边 \(<i, j>\) 构成的子图,就是相等子图。

  • 算法执行过程中,对任一条边\(<i, j>\) ,\(A[i] + B[j] >= w[i][j]\) 恒成立。

  • slack数组存的数是Y部的点相等子图时,最小要增加的值

  • 算法图示

    1. 从\(X_1\) 开始跑匈牙利,匹配的条件是:\(A[i] + B[j] = w[i][j]\) ,显然 $ X_1$ 和 \(Y_3\) 匹配成功。

    2. 接着从 \(X_2\) 开始,\(A[X_2]+B[Y_3]==w[X_2][X_3]\) ,此时 \(Y_3\) 已被 \(X_1\) 匹配,尝试让 \(X_1\) 换一个匹配对象,但在 \(X_1\) 的邻接点没有满足:\(A[i] + B[j] = w[i][j]\) 的点,这些相临边和顶标和的最小差值为:\(minz=1\) ,把此时已标记的 \(X\) 部的顶标减去\(minz\),即:\(A[x_1]=5-1=4,A[X_2]-1=3\) , \(Y\) 部的此时标记的顶标加上\(minz\),即:\(B[y_3]=0+1=1\) ,此时\(A[X_1]+B[Y_1]==w[X_1][Y_1]\)。

    3. 最后从\(X_3\) 开始找增广路,\(X_3\) 匹配 \(Y_3\) ,不满足,调整顶标,即\(A[3]=5-1=4\),匹配\(Y_3\) 成功,尝试劝说 \(X_2\) 寻找新的匹配,此时 \(Y_1\) 满足匹配,尝试让 \(X_1\) 寻找新的匹配,此时\(X_1\)已找不到新的为匹配的点,匹配失败,回溯到 \(X_2\) ,

  • Code

    #include <bits/stdc++.h>
    const int maxn = 300 + 10,maxe=1e4+5,Inf = 0x3f3f3f3f;
    struct Edee{int to,w,next;}e[maxe];
    int n,m,len,head[maxn],g[maxn][maxn];
    int wx[maxn], wy[maxn];//每个点的顶标值(需要根据二分图处理出来)
    int match[maxn];//每个Y部点所匹配的X部的点
    int visx[maxn], visy[maxn];//每个点是否加入增广路
    int slack[maxn];//边权和顶标最小的差值
    void Insert(int u,int v){
    e[++len].to=v;e[len].next=head[u];head[u]=len;
    }
    bool dfs(int u){//进入DFS的都是X部的点,找到增光路返回1,否则返回0
    visx[u] = 1;//标记进入增广路
    for(int i = head[u]; i ; i=e[i].next){
    int v = e[i].to;
    if(!visy[v]){//如果Y部的点还没进入增广路,并且存在路径
    int t = wx[u] + wy[v] - g[u][v];
    if(t == 0){//t为0说明是相等子图
    visy[v] = 1;//加入增广路
    if(match[v] == -1 || dfs(match[v])){
    match[v] = u;//进行匹配
    return 1;
    }
    }
    else if(t > 0)//此处t一定是大于0,因为顶标之和一定>=边权
    slack[v] = std::min(slack[v], t);
    //slack[v]存的是Y部的点需要变成相等子图顶标值最小增加多少
    }
    }
    return false;
    } int KM(){
    memset(match, -1, sizeof(match));
    memset(wx, 0, sizeof(wx));//wx的顶标为该点连接的边的最大权值
    memset(wy, 0, sizeof(wy));//wy的顶标为0
    for(int u = 1; u <= n; u++){//预处理出顶标值
    for(int i = head[u]; i ; i=e[i].next)
    wx[u] = std::max(wx[u], g[u][e[i].to]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){//枚举X部的点
    memset(slack, 0x3f, sizeof(slack));
    while(1){
    memset(visx, 0, sizeof(visx));
    memset(visy, 0, sizeof(visy));
    if(dfs(i))break;//已经匹配正确
    int minz = Inf;
    for(int j = 1; j <= n; j++)
    if(!visy[j] && minz > slack[j])
    minz = slack[j];//找出还没经过的点中,需要变成相等子图的最小额外增加的顶标值
    //将X部已访问的顶标减去minz,Y部已访问的顶标加上minz
    for(int j = 1; j <= n; j++)
    if(visx[j])wx[j] -= minz;
    for(int j = 1; j <= n; j++)
    //修改顶标后,要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去minz
    if(visy[j])wy[j] += minz;
    else slack[j] -= minz;//未在增光路,但相应的X部已访问的顶标减少了,其相邻的未访问的期望也减小
    }
    } int ans = 0;//二分图最优匹配权值
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    if(match[i] != -1)ans += g[match[i]][i];
    return ans;
    }
    int main(){
    while(scanf("%d%d", &n,&m) != EOF){
    for(int i = 1; i <= m; i++){
    int u,v,w;scanf("%d%d%d", &u,&v,&w);
    g[u][v]=w;Insert(u,v);
    }
    printf("%d\n", KM());
    }
    return 0;
    }

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