【THUWC 2017】在美妙的数学王国中畅游

数学王国里有n座城市，每座城市有三个参数\(f\)，\(a\)，\(b\)，一个智商为\(x\)的人经过一座城市的获益\(f(x)\)是

若\(f=1\)，则\(f(x)=\sin(ax+b)\)；

若\(f=2\)，则\(f(x)=e^{ax+b}\)；

若\(f=3\)，则\(f(x)=ax+b\)；

会发生如下四种事件：

1、有两个城市之间新建了道路；

2、有两个城市之间的道路被摧毁了；

3、城市i的三个参数被修改了；

4、求智商为x的人从u走到v的获益总和。

保证任何时候图是一个森林。

题解

这是一道数学题

如果每座城市的\(f\)都是\(3\)你会做吗？

很简单，LCT维护一下路径上的\(\sum a,\sum b\)即可。

可见我们维护出来的就是函数的一次项系数和常系数。

所以说，如果我告诉你每座城市都是一个不超过13项的多项式函数，你应该不会还不知道怎么做了吧。

但显然这\(\sin(ax+b)\)啊，什么\(e^{ax+b}\)啊，这都是些什么鬼。

但如果我可以把它们展开成多项式呢？

根据泰勒公式，我们有

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)*(x-x_0)^i}{i!}
\]

其中\(f^{(i)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的\(i\)阶导。

上式是一个近似式，近似度随\(n\)的取值而不断递增。要精确到题目要求的1e-7的话\(n\)只要取12,13就可以了。

数学小课堂——关于指数函数、三角函数、复活(雾)函数的求导

指数函数的求导

\[(a^x)'=a^x*\ln a
\]

(\(\ln a\)代表取自然对数)。

特殊的，

\[(e^x)'=e^x
\]

三角函数的求导

\[(\sin x)'=\cos x
\]

\[(\cos x)'=-\sin x
\]

\[(-\sin x)'=-\cos x
\]

\[(-\cos x)'=\sin x
\]

（所以说是循环四个，周期！）

复合函数

\[[f(g(x))]'=g'(x)*f'(g(x))
\]

放到这道题里面去

\[\sin'(ax+b)=a\cos(ax+b)
\]

\[\sin''(ax+b)=-a^2\sin(ax+b)
\]

\[\sin'''(ax+b)=-a^3\cos(ax+b)
\]

以此类推

\[(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}
\]

一次函数就不说了

然后这题就做完了

code

upt 18-08-07 : 更新了一份代码，现在\(BZ\)能过了虽然是在最后一版

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 16;
int n,m,fa[N],ch[2][N],rev[N],f[N],Stack[N],top;
double jc[M],sum[M][N],a[N],b[N];
char type[N],s[N];
bool son(int x){
	return ch[1][fa[x]]==x;
}
bool isroot(int x){
	return ch[0][fa[x]]!=x&&ch[1][fa[x]]!=x;
}
void reverse(int x){
	if (!x) return;
	swap(ch[0][x],ch[1][x]);rev[x]^=1;
}
void pushup(int x){
    for (int i=0;i<M;++i)
        sum[i][x]=sum[i][ch[0][x]]+sum[i][ch[1][x]];
    if (f[x]==1){
        double val=1,Sin=sin(b[x]),Cos=cos(b[x]);
        for (int i=0;i<M;i+=4){
            sum[i][x]+=Sin*val;val*=a[x];
			sum[i+1][x]+=Cos*val;val*=a[x];
			sum[i+2][x]-=Sin*val;val*=a[x];
			sum[i+3][x]-=Cos*val;val*=a[x];
        }
    }
    if (f[x]==2){
        double val=exp(b[x]);sum[0][x]+=val;
        for (int i=1;i<M;++i)
            val*=a[x],sum[i][x]+=val;
    }
    if (f[x]==3)
        sum[0][x]+=b[x],sum[1][x]+=a[x];
}
void pushdown(int x){
	if (!rev[x]) return;
	reverse(ch[0][x]);reverse(ch[1][x]);rev[x]=0;
}
void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y],c=son(x);
	ch[c][y]=ch[c^1][x];if (ch[c][y]) fa[ch[c][y]]=y;
	fa[x]=z;if (!isroot(y)) ch[son(y)][z]=x;
	ch[c^1][x]=y;fa[y]=x;pushup(y);
}
void splay(int x){
    Stack[++top]=x;
    for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
        Stack[++top]=fa[i];
    while (top) pushdown(Stack[top--]);
    for (int y=fa[x];!isroot(x);rotate(x),y=fa[x])
		if (!isroot(y)) son(x)^son(y)?rotate(x):rotate(y);
    pushup(x);
}
void access(int x){
	for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),ch[1][x]=y,pushup(x);
}
void makeroot(int x){
	access(x);splay(x);reverse(x);
}
int findroot(int x){
	access(x);splay(x);
	while(ch[0][x])x=ch[0][x];
	splay(x);return x;
}
void split(int x,int y){
	makeroot(x);access(y);splay(y);
}
void link(int x,int y){
	makeroot(x);fa[x]=y;
}
void cut(int x,int y){
	split(x,y);ch[0][y]=fa[x]=0;
}
int main(){
//  freopen("math.in","r",stdin);
//	freopen("math.out","w",stdout);
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<M;++i)
        jc[i]=jc[i-1]*i;
    scanf("%d %d %s",&n,&m,type);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d %lf %lf",&f[i],&a[i],&b[i]);
    while (m--){
        int u,v,ff;
        double aa,bb,x,IQ,ans;
        scanf("%s",s);
        if (s[0]=='a'){
            scanf("%d %d",&u,&v);
            ++u;++v;link(u,v);
        }
        if (s[0]=='d'){
            scanf("%d %d",&u,&v);
            ++u;++v;cut(u,v);
        }
        if (s[0]=='m'){
            scanf("%d %d %lf %lf",&u,&ff,&aa,&bb);
            ++u;makeroot(u);
            f[u]=ff;a[u]=aa;b[u]=bb;
            pushup(u);
        }
        if (s[0]=='t'){
            scanf("%d %d %lf",&u,&v,&IQ);x=1;
            ++u;++v;
            if (findroot(u)^findroot(v)) {puts("unreachable");continue;}
            split(u,v);
            ans=0;
            for (int i=0;i<M;++i)
				ans+=sum[i][v]*x/jc[i],x*=IQ;
            printf("%.8e\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}