BZOJ3143: [Hnoi2013]游走(期望DP 高斯消元)

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 3597 Solved: 1618
[Submit][Status][Discuss]

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

Source

非官方数据

这题真TM恶心啊。。

思路大概是先表示出边的概率，然后表示出点的概率

发现点的概率不能直接搞

然后高斯消元搞一搞

最后贪心的加边，显然概率越小的编号应该越大

详细一点的题解在这里

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3232

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

using namespace std;

const int MAXN=1e6+;

const double eps=1e-;

char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}

    return x*f;

}

int N,M;

struct node

{

    int u,v,nxt;

}edge[MAXN];

int head[MAXN],num=;

inline void AddEdge(int x,int y)

{

    edge[num].u=x;

    edge[num].v=y;

    edge[num].nxt=head[x];

    head[x]=num++;

}

double f[][],ans[MAXN],E[MAXN],inder[MAXN];

int S[MAXN],T[MAXN];

int dcmp(double x)

{

    if(x<eps&&x>-eps) return ;

    else return x<?-:;

}

void Gauss()

{

    for(int i=;i<N;i++)

    {

        int mx=i;

        for(int j=i+;j<N;j++)

            if( dcmp(f[j][i]-f[mx][i])> ) mx=j;

        if(mx!=i) swap(f[i],f[mx]);

        for(int j=i+;j<N;j++)

        {

            double tmp=f[j][i]/f[i][i];

            for(int k=i;k<=N;k++)

                f[j][k]-=(double)tmp*f[i][k];

        }

    }

    for(int i=N-;i>=;i--)

    {

        for(int j=i+;j<N;j++)

            f[i][N]-=ans[j]*f[i][j];

        ans[i]=f[i][N]/f[i][i];

    }

}

int main()

{

    #ifdef WIN32

    freopen("a.in","r",stdin);

    #else

    #endif

    memset(head,-,sizeof(head));

    N=read(),M=read();

    for(int i=;i<=M;i++)

    {

        int x=read(),y=read();

        AddEdge(x,y);AddEdge(y,x);

        inder[x]++;inder[y]++;

        S[i]=x;T[i]=y;

    }

    f[][N]=;

    for(int i=;i<N;i++) f[i][i]=;

    for(int i=;i<N;i++)

        for(int j=head[i];j!=-;j=edge[j].nxt)

            if(edge[j].v!=N)

                f[i][edge[j].v]=(double)-1.00/inder[edge[j].v];

    Gauss();

    for(int i=;i<=M;i++)

        E[i]=ans[S[i]]/inder[S[i]]+ans[T[i]]/inder[T[i]];

    sort(E+,E+M+);

    double out=;

    for(int i=;i<=M;i++)

        out+=E[i]*(M-i+);

    printf("%.3lf",out);

    return ;

}