MT【126】点对个数两题之二【图论】

在平面上有\(n\) 个点$S={x_1,x_2\cdots,x_n}, $ 证明在这 \(n\) 个点中距离为 \(1\) 的点对数不超过 \(\dfrac{n}{4}+\dfrac{2}{2}n^{\frac{3}{2}}\).

证明:如果两点间距离为 1 则相连,所以要求距离为 1 的点对数就是图 G 中的边数.我们只需证明:边数\(|E|\le \dfrac{n}{4}+\dfrac{2}{2}n^{\frac{3}{2}}\)
证明:\(n\)个圆中两两交点总数不超过\(2C_n^2=n(n-1)\)个(包括重复).
用\(D_k,(k=1,2\cdots,n)\)表示以\(v_k\)为圆心,半径为 1 的圆,如果 \(v_k\)与\(v_i,v_j\)相邻,
则 $ v_k\in D_i\cap D_j $ , 因此 $ v_k $ 作为 $ D_1,D_2,\cdots,D_n $ 中两圆的交点恰好被计数 \(C_{d(v_k)}^2\) 次.
故\[\begin{align*}
n(n-1)&\ge\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{d(v_k)}^2}
&\ge\dfrac{2}{n}|E|^2-E.\quad (\textbf{利用柯西和}2|E|=\sum\limits_{k=1}^{n}{d(v_k)})
\end{align*}\]
\(\therefore |E|\le \dfrac{n}{4}+\dfrac{2}{2}n^{\frac{3}{2}}\)