BZOJ1188:[HNOI2007]分裂游戏(博弈论)

Description

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。该游戏的规则试：共有n个瓶子，标号为0,1,2.....n-1,第i个瓶子中装有p[i]颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择3个瓶子。

标号为i,j,k,并要保证i<j,j<=k且第i个瓶子中至少要有1颗巧克力豆，随后这个人从第i个瓶子中拿走一颗豆子并在j,k中各放入一粒豆子（j可能等于k）。

如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！

两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。

他思考了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜策略，更不知道第一步该如何取。

他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为了必胜，第一步有多少种取法？

假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000

Input

输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数，

接下来为t组测试数据（t<=10）。

每组测试数据的第一行是瓶子的个数n，

接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数，表示每个瓶子中的豆子数。

Output

对于每组测试数据，输出包括两行，

第一行为用一个空格两两隔开的三个整数，表示要想赢得游戏，

第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k，

如果有多组符合要求的解，那么输出字典序最小的一组。

如果无论如何都无法赢得游戏，那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。

第二行表示要想确保赢得比赛，第一步有多少种不同的取法。

Sample Input

2
4
1 0 1 5000
3
0 0 1

Sample Output

0 2 3
1
-1 -1 -1
0

Solution

首先可以发现，若一个位置豆子是偶数，且先手取了这个位置，显然后手可以通过进行和先手相同的操作来抵消这一步。

所以就可以把每个位置的豆子数$mod~2$，并将他们看成一个单独的游戏，同时记搜一下这个游戏的$SG$值。

虽然把每个豆子看成单独的游戏，但显然他们的$SG$值是可以共用的。

记忆化搜索每个豆子的$SG$值，当前是第$i$个位置的话显然有多种后继状态，每一种的$SG$值是$SG[j]~xor~SG[k]$。因为当前第$i$个位置的后继状态可以看做是$j$和$k$两个子局面的$SG$值异或得到总局面$SG$值。

输出方案就枚举三个位置$i,j,k$，如果全局异或值$ ~xor~ SG[i] ~xor~ SG[j] ~xor~ SG[k]=0$，那么说明先手取完这三个位置之后后手就必输了。

Code

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #define N (30009)
 using namespace std;

 int T,n,ans,tot,a[N],SG[N],vis[N];

 int DFS(int x)
 {
     if (SG[x]!=-) return SG[x];
     for (int i=x+; i<=n; ++i)
         for (int j=i; j<=n; ++j)
             vis[DFS(i)^DFS(j)]=x;
     int p=;
     while (vis[p]==x) p++;
     return SG[x]=p;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     while (T--)
     {
         memset(SG,-,sizeof(SG));
         memset(vis,,sizeof(vis));
         ans=; tot=;
         scanf("%d",&n);
         for (int i=; i<=n; ++i)
             scanf("%d",&a[i]);
         for (int i=; i<=n; ++i) DFS(i);
         for (int i=; i<=n; ++i)
             if (a[i]&) ans^=SG[i];
         for (int i=; i<=n; ++i)
             for (int j=i+; j<=n; ++j)
                 for (int k=j; k<=n; ++k)
                     if ((ans^SG[i]^SG[j]^SG[k])==)
                     {
                         if (!tot) printf("%d %d %d\n",i-,j-,k-);
                         ++tot;
                     }
         if (!tot) puts("-1 -1 -1");
         printf("%d\n",tot);
     }
 }