BZOJ2324 [ZJOI2011]营救皮卡丘【费用流】

题目

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。

火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。

由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。

为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。

K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。

野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。

请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！

输入格式

第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。

接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。

输出格式

仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

输入样例

3 4 2

0 1 1

1 2 1

2 3 100

0 3 1

输出样例

【样例说明】

小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。

提示

对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。

题解

比较容易想到，每一次的移动，一定是为了到达一个未摧毁的点，也就是一个比当前点都大的点

所以每一次移动时，路径上点点都不会比终点大

由此，我们可以floyd预处理两点间最短路，但用以更新的k不能比i和j都大

这样我们重建了一张竞赛图，也是一张拓扑图

现在问题就转化成了：选尽量短的几条从0出发的路径，使所有点都被覆盖

就有转化为了最小费用可行流

具体怎么建图，就不说了【懒。】

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<queue>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 310,maxm = 500005,INF = 1000000000;

inline int read(){

	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 3) + (out << 1) + c - '0'; c = getchar();}

	return out * flag;

}

int n,m,K,h[maxn],ne = 2,S,T,SS,TT;

struct EDGE{int to,nxt,f,w;}ed[maxm];

inline void build(int u,int v,int f,int w){

	ed[ne] = (EDGE){v,h[u],f,w}; h[u] = ne++;

	ed[ne] = (EDGE){u,h[v],0,-w}; h[v] = ne++;

}

int d[maxn],minf[maxn],p[maxn],inq[maxn];

queue<int> q;

int mincost(){

	int flow = 0,cost = 0;

	while (true){

		for (int i = 0; i <= TT; i++) d[i] = INF,inq[i] = 0;

		d[SS] = 0; minf[SS] = INF;

		q.push(SS);

		int u;

		while (!q.empty()){

			u = q.front(); q.pop();

			inq[u] = false;

			Redge(u) if (ed[k].f && d[to = ed[k].to] > d[u] + ed[k].w){

				d[to] = d[u] + ed[k].w; p[to] = k; minf[to] = min(minf[u],ed[k].f);

				if (!inq[to]) q.push(to),inq[to] = true;

			}

		}

		if (d[TT] == INF) break;

		flow += minf[TT];

		cost += minf[TT] * d[TT];

		u = TT;

		while (u != SS){

			ed[p[u]].f -= minf[T];

			ed[p[u] ^ 1].f += minf[T];

			u = ed[p[u] ^ 1].to;

		}

	}

	return cost;

}

int G[maxn][maxn];

void floyd(){

	for (int k = 0; k < n; k++)

		for (int i = 0; i < n; i++)

			for (int j = 0; j < n; j++)

				if ((k <= i || k <= j) && G[i][j] > G[i][k] + G[k][j])

					G[i][j] = G[i][k] + G[k][j];

}

void init(){

	for (int i = 0; i < n; i++){

		build(SS,i + n,1,0);

		build(i,TT,1,0);

		build(i,i + n,INF,0);

		build(i + n,T,INF,0);

	}

	build(S,0,K,0);

	build(T,S,INF,0);

	for (int i = 0; i < n; i++)

		for (int j = i + 1; j < n; j++)

			build(i + n,j,INF,G[i][j]);

}

int main(){

	n = read(); m = read(); K = read(); n++;

	S = 2 * n; T = S + 1; SS = T + 1; TT = SS + 1;

	int a,b,w;

	for (int i = 0; i < n; i++)

		for (int j = 0; j < n; j++)

			if (i != j) G[i][j] = INF;

	while (m--){

		a = read(); b = read(); w = read();

		G[a][b] = G[b][a] = min(G[a][b],w);

	}

	floyd();

	init();

	printf("%d\n",mincost());

	return 0;

}