bzoj 2301 莫比乌斯反演

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

这里题目意思很明显

对于要求的f[n] = sigma (a≤x≤b) sigma(c≤y≤d) [gcd(x,y)=k] =  sigma (1≤x≤b) sigma(1≤y≤d) [gcd(x,y)=k] + sigma (1≤x≤a-1) sigma(1≤y≤c-1) [gcd(x,y)=k] - sigma (1≤x≤a-1) sigma(1≤y≤d) [gcd(x,y)=k] -  sigma (1≤x≤b) sigma(1≤y≤c-1) [gcd(x,y)=k]

对于每一个g[n] = sigma(1≤x≤a) sigma(1≤y≤c) [gcd(x,y)=k] = sigma(1≤x≤a/k) sigma(1≤y≤c/k) [gcd(x,y)=1] = sigma(1≤x≤a/k) sigma(1≤y≤c/k) sigma(d|gcd(x,y)) mu[d] = sigma(d) mu[d]*a/k/d*c/k/d

a/k/d*c/k/d 这一段区间相等的部分可以加在一起算，得到当前一样值的结束是 min(x/(x/i) , y/(y/i))

记录莫比乌斯函数的前缀和就可以整段区间更新，这样循环就缩小到了sqrt(n)的复杂度

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define N 50000
 int mu[N+] , prime[N+] , tot , sum[N+];
 bool check[N+];

 void get_mu()
 {
     mu[] = ;
     for(int i= ; i<=N ; i++){
         if(!check[i]){
             prime[tot++] = i;
             mu[i] = -;
         }
         for(int j= ; j<tot ; j++){
             if((ll)i*prime[j]>N) break;
             check[i*prime[j]] = true;
             if(i%prime[j]){
                 mu[i*prime[j]] = -mu[i];
             }else break;
         }
     }
     for(int i= ; i<=N ; i++) sum[i]=sum[i-]+mu[i];
 }

 int a,b,c,d,k;

 int solve(int x , int y)
 {
     x/=k , y/=k;
     int mx = min(x , y) , len , ret=;
     for(int i= ; i<=mx ; i=len+)
     {
        // cout<<i<<" "<<ret<<endl;
         len = min(x/(x/i) , y/(y/i));
         ret += x/i*(y/i)*(sum[len]-sum[i-]);
     }
     return ret;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt" , "r" , stdin);
     get_mu();
     int T;
     scanf("%d" , &T);
     while(T--){
         scanf("%d%d%d%d%d" , &a , &b , &c , &d , &k);
         printf("%d\n" , solve(b,d)+solve(a-,c-)-solve(a-,d)-solve(b,c-));
     }
     return ;
 }