[CF1063F]String Journey[后缀数组+线段树]

题意

在 \(S\) 中找出 \(t\) 个子串满足 \(t_{i+1}\) 是 \(t_{i}\) 的子串,要让 \(t\) 最大。

\(|S| \leq 5\times 10^5\).

分析

• 定义状态 \(f_{i}\) 表示从 \(i\) 出发能够得到的最长的 \(journey\) .

• 容易得到最终的答案最右边的串长度一定可以是1.

• 同时如果删掉没用的部分过后 \(t_i\) 的长度一定可以为 $t_{i+1} +1 $.

• 如果在 \(i\) 位置存在长度为 \(k\) 的答案的话，将两边某一个字符在所有串中抠掉(还要舍去一个串)，一定也存在长度为 \(k-1\) 的答案，所以答案单调。

• 假设当前枚举的答案为 \(k\) ，只需要在 \([i+k,n]\) 这个区间中存在一个子串满足

\[S_{i,i+1\cdots i+k-2}=S_{j,j+1\cdots j+k-2}$$ 或者 $$S_{i+1,i+2\cdots i+k-1}=S_{j,j+1\cdots j+k-2}
\]

同时 \(f_j\geq k-1\) 的话，就说明 \(f_i\geq k\) .

• 但是发现一定有 \(f_i\leq f_{i+1}+1\) ,所以暴力枚举每个位置的答案，不需要二分。

• 那些满足 \(LCP(i,j) \geq k-1\) 的位置在 \(sa\) 数组中一定是一个区间，线段树维护最大值。

• 总时间复杂度为 \(O(nlogn)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].lst,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define repd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=5e5 + 7;
int n,ans;
char s[N];
int val[N<<2],f[N];
#define Ls o<<1
#define Rs o<<1|1
void modify(int p,int l,int r,int o,int v){
	Max(val[o],v);
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	if(p<=mid) modify(p,l,mid,Ls,v);
	else modify(p,mid+1,r,Rs,v);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int o){
	if(L<=l&&r<=R) return val[o];
	int mid=l+r>>1;
	if(R<=mid) return query(L,R,l,mid,Ls);
	if(L>mid)  return query(L,R,mid+1,r,Rs);
	return max(query(L,R,l,mid,Ls),query(L,R,mid+1,r,Rs));
}
namespace SA{
	int x[N],y[N],c[N],sa[N],h[N],mi[N][20],Log[N];
	void getsa(int m){
		rep(i,1,m) c[i]=0;
		rep(i,1,n) c[x[i]=s[i]]++;
		rep(i,1,m) c[i]+=c[i-1];
		repd(i,n,1) sa[c[x[i]]--]=i;
		for(int k=1;k<=n;k<<=1){
			int p=0;
			for(int i=n;i>=n-k+1;--i) y[++p]=i;
			rep(i,1,n) if(sa[i]>k) y[++p]=sa[i]-k;
			rep(i,1,m) c[i]=0;
			rep(i,1,n) c[x[y[i]]]++;
			rep(i,1,m) c[i]+=c[i-1];
			repd(i,n,1) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];
			swap(x,y);p=1;x[sa[1]]=1;
			rep(i,2,n)
			x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]?p:++p;
			if(p>=n) break; m = p;
		}
		rep(i,1,n) x[sa[i]]=i;
		for(int i=1,j=0;i<=n;++i){
			if(j) --j;if(x[i]==1) continue;
			while(s[i+j]==s[sa[x[i]-1]+j]) ++j;
			h[x[i]]=j;
		}
		Log[1]=0;
		rep(i,2,n) Log[i]=Log[i>>1]+1;
		rep(i,1,n) mi[i][0]=h[i];
		for(int k=1;1<<k<=n;++k)
		for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;++i)
		mi[i][k]=min(mi[i][k-1],mi[i+(1<<k-1)][k-1]);
	}
	int rmq_query(int l,int r){
		l++;
		if(l>r) return n+1;
		int k=Log[r-l+1];
		return min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);
	}
	int get1(int p,int up){
		int l=1,r=p;
		while(l<r){
			int mid=l+r>>1;
			if(rmq_query(mid,p)>=up) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		return l;
	}
	int get2(int p,int up){
		int l=p,r=n;
		while(l<r){
			int mid=l+r+1>>1;
			if(rmq_query(p,mid)>=up) l=mid;
			else r=mid-1;
		}
		return l;
	}
}
int main(){
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	using namespace SA;
	getsa(129);
	f[n]=ans=1;
	for(int i=n-1,j=1;i;--i){
		for(++j;j;--j){
			if(i+j<=n) modify(x[i+j],1,n,1,f[i+j]);
			int l=get1(x[i+1],j-1),r=get2(x[i+1],j-1),fg=0;
			fg|=query(l,r,1,n,1)>=j-1;
			l=get1(x[i],j-1),r=get2(x[i],j-1);
			fg|=query(l,r,1,n,1)>=j-1;
			if(fg) break;
		}
		f[i]=j;
		Max(ans,f[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}