SP5971 LCMSUM - LCM Sum
一个基于观察不依赖于反演的做法。
首先 \(\rm lcm\) 是不好算的,转化为计算 \(\rm gcd\) 的问题,求:
\]
注意到 \(\gcd(n - i, n) = \gcd(i, n), (n - i) \times n + in = n ^ 2\),可以考虑将 \(\gcd(n - i, n), \gcd(i, n)\) 一起计算。
具体地,将原式乘 \(2\), 前后配对。需要注意的是会多出一项,需要额外拿出来。
\]
按照技巧枚举 \(d = \gcd(i, n)\):
\]
后面的部分可以除去 \(d\):
\]
即:
\]
方便起见枚举 \(d = \frac{n}{d}\):
\]
中间的求和部分与 \(n\) 无关,直接枚举 \(d\) 再枚举倍数累加贡献即可,复杂度 \(O(n \ln n + T)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
const int N = 1000000 + 5;
bool iprime[N];
int T, n, tot, phi[N], ans[N], prime[N];
int read() {
char c; int x = 0, f = 1;
c = getchar();
while (c > '9' || c < '0') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
signed main() {
T = read();
iprime[1] = phi[1] = 1;
rep(i, 2, N - 5) {
if(!iprime[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N - 5; ++j) {
iprime[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;}
phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
}
}
rep(i, 1, N - 5) for (int j = i; j <= N - 5; j += i) ans[j] += i * phi[i];
while (T--) n = read(), printf("%lld\n", (n * ans[n] + n) / 2);
return 0;
}
值得一提的是,如果答案贡献式各个部分都包含变量时,通过观察和一些技巧减少变量的个数是一种简化问题的手段。
SP5971 LCMSUM - LCM Sum的更多相关文章
- SPOJ LCMSUM - LCM Sum
题意是求: $\sum_{i = 1}^{n}lcm(i, n)$ $= \sum_{i = 1}^{n}\frac{ni}{gcd(i, n)}$ $= n\sum_{i = 1}^{n}\frac ...
- SP5971 LCMSUM 数论
题面 题目要我们求这个: \[\sum_{i=1}^n lcm(i,n)\] 开始化式子: \[\sum_{i=1}^{n} \frac{i*n}{gcd(i,n)}\] \[\sum_{d|n} \ ...
- 询问任意区间的min,max,gcd,lcm,sum,xor,or,and
给我们n个数,然后有m个询问,每个询问为L,R,询问区间[L,R]的最大最小值,最小公约数,最大公约数,和,异或,或,且 这些问题通通可以用RMQ的思想来解决. 以下用xor来作为例子 设dp[i][ ...
- gcd套路变换
gcd套路变换 GCD https://www.luogu.org/problem/P2568 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. $ 1& ...
- X000011
P1890 gcd区间 \(\gcd\) 是满足结合律的,所以考虑用 ST 表解决 时间复杂度 \(O((n\log n+m)\log a_i)\) 考虑到 \(n\) 很小,你也可以直接算出所有的区 ...
- 初等数论学习笔记 III:数论函数与筛法
初等数论学习笔记 I:同余相关. 初等数论学习笔记 II:分解质因数. 1. 数论函数 本篇笔记所有内容均与数论函数相关.因此充分了解各种数论函数的名称,定义,符号和性质是必要的. 1.1 相关定义 ...
- 数位DP入门
HDU 2089 不要62 DESC: 问l, r范围内的没有4和相邻62的数有多少个. #include <stdio.h> #include <string.h> #inc ...
- BZOJ 1853: [Scoi2010]幸运数字
1853: [Scoi2010]幸运数字 Time Limit: 2 Sec Memory Limit: 64 MBSubmit: 2117 Solved: 779[Submit][Status] ...
- 数位DP之小小结
资料链接:http://wenku.baidu.com/view/9de41d51168884868662d623.html http://wenku.baidu.com/view/d2414ffe0 ...
随机推荐
- Netty 中的心跳机制
在TCP长连接或者WebSocket长连接中一般我们都会使用心跳机制–即发送特殊的数据包来通告对方自己的业务还没有办完,不要关闭链接. 网络的传输是不可靠的,当我们发起一个链接请求的过程之中会发生什么 ...
- Feign动态调用,结合Ribbon
代码如下,三种方法: import org.springframework.beans.factory.annotation.Autowired;import org.springframework. ...
- element 表格行内进行编辑
<template> <div class="process_manage"> <el-card class="box-card" ...
- Spring Boot程序接收命令行参数
Spring Boot程序接收命令行参数 输入一行,回车,触发一次.如果想要调用service层,也是可以,能调用service层,就可以做很多事,触发一次就好比调用了一次http接口一样 packa ...
- .net core使用rabbitmq消息队列 (二)
之前有写过.net core集成使用rabbitmq的博文,见.net core使用rabbitmq消息队列,但是里面的使用很简单,而且还有几个bug,想改下,但是后来想了想,还是算了,之前使用的是. ...
- Python中切片方法总结
对字符串或列表使用切片方法进行操作时 对包含[-1]的方法的使用经常用错 其实[-1]即指最后一个元素(同理[-2]指倒数第二个元素) 现总结如下 以便加深记忆 >>> li = [ ...
- python的作用域、globals()-全局变量 和 locals()-局部变量
在python中,函数会创建一个自己的作用域,也称为为命名空间.当我们在函数内部访问某个变量时,函数会优先在自己的命名空间中寻找. 我们自己定义的全局变量均在python内建的globals()函数中 ...
- 基于CentOS7.x gitlab环境搭建,卸载,汉化 --搭建篇
gitlab环境搭建,卸载,汉化 --搭建篇 环境搭建 安装依赖软件 yum -y install policycoreutils openssh-server openssh-clients pos ...
- Win10如何更改C:\Users\下的用户名
详细操作步骤博文原址 : https://blog.csdn.net/wls666/article/details/103334152 但是,改完后会出现报错 这是微软应用商城出现问题 ,每次开机 ...
- Vue下路由History mode 出现404,无法正常刷新
在History mode下,如果直接通过地址栏访问路径,那么会出现404错误,这是因为这是单页应用(废话)-其实是因为调用了history.pushState API 所以所有的跳转之类的操作都是通 ...