【洛谷】SAC E#1 Factorial

别人可以眼杀我却研究了一个小时看了题解才懂的数学题

输入： n, k

输出： n!在k进制下后缀0的个数

n,k <= 10^12

将 n! 表示成 x×2y5z 的形式，其中 x mod 2 != 0,x mod 5 != 0，则答案为 min(y,z)。

所以只需要统计 n! 的质因数分解的结果中，2 和 5 的次数 即可。

由于数的乘法对应的是指数的加法，所以求出 [1,n] 中所有 数的质因数分解的结果中，2 和 5 的次数，再作和即可。

求一个数 x 中有多少个 p，可以在 O(logx) 时间内完成。

总时间复杂度 O(nlogn)。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll oo = 1e18;
const int N = 100010;

int an;
ll n, k, ans;
ll a[N], b[N], p[N];

template <typename T>
T read(){
    T N(0), F(1);
    char C = getchar();
    for(; !isdigit(C); C = getchar()) if(C == '-') F = -1;
    for(; isdigit(C); C = getchar()) N = N*10 + C-48;
    return N*F;
}

int main(){
    n = read<ll>(); k = read<ll>();

    for(ll i = 2; i*i <= k; i++){
        if(k % i == 0){
            a[++an] = i;
            while(k%i == 0){
                p[an]++;
                k /= i;
            }
        }
    }
    if(k > 1){
        a[++an] = k;
        p[an] = 1;
    }

    ans = oo;
    for(int i = 1; i <= an; i++){
        ll tmp = a[i];
        while(tmp <= n){
            b[i] += n / tmp;
            tmp *= a[i];
        }
        ans = min(ans, b[i]/p[i]);
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}