(AMM. Problems and Solutions. 2015. 03) Let $\sed{a_n}$ be a monotone decreasing sequence of real numbers that converges to $0$. Prove that $$\bex \vsm{n}a_n<\infty \eex$$ if and only if $a_n=O(1/\ln n)$ and $\dps{\vsm{n}(a_n-a_{n+1}) \ln n<\infty}$.

必要性好办, 但是充分条件怎么办呢?

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 Series)的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

    设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com $\sin x-x\cos x=0$ 的根的估计)

    (2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)

    试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$ 证明 (from Hanssch ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)

    设 $A,B\in \bbR^{n\times n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-11-24 Abel 定理)

    设幂级数 $\dps{g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $\dps{\sum_{n=0}^\infty a_n=s}$ 收敛. 则 ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$)

    $$\bex \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Sine Sum Identity, The ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\sin x/x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增)

    $$\bex \frac{\sin x}{x}\nearrow. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $\sin x/x$ on $(0 ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\tan x/x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增)

    $$\bex \frac{\tan x}{x}\nearrow. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $\tan x/x$ on $(0 ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-11-02 Herglotz' trick)

    设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的连续可微函数, 满足 $$\bee\label{141102_f} f(x)+f\sex{x+\frac{1}{2}}=f(2x),\quad\for ...

随机推荐

  1. Java学习笔记记录（二）

    1.复合语句 if条件语句 使用场景:boolean类型判断.一个范围的判断.几个常量值的判断 有左大括号就没有分号,有分号就没有左大括号. 如下: public class demo1 { stat ...

  2. requests的基本用法

    r = requests.get('https://api.github.com/events', params = {'key1': 'value1', 'key2': 'value2'}) r = ...

  3. vue 对象提供的属性功能、通过axio请求数据(2)

    1 Vue对象提供的属性功能 1.1 过滤器 过滤器,就是vue允许开发者自定义的文本格式化函数,可以使用在两个地方:输出内容和操作数据中. 1.1.1 使用Vue.filter()进行全局定义(全局 ...

  4. Spring Security（三十二）：10. Core Services

    Now that we have a high-level overview of the Spring Security architecture and its core classes, let ...

  5. linux sort排序及取前几条数据

    查看sort --help -n 根据字符串的数值进行比较 -k 根据某一个关键字的位置或者类型排序 -r 倒序排序 -t 字段分隔,后面跟分隔符 查看head --help -n 打印前几行记录,后 ...

  6. String Successor zoj 3490

    链接 [https://vjudge.net/contest/294259#problem/D] 题意 就是给你一个字符串,要进行n次操作 让你输出每次的字符串 操作规则: 1.如果有数字或者字母就忽 ...

  7. [转帖]Scanners-Box 指引

    作者:杨文链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/26534414来源:知乎著作权归作者所有.商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处. 原文地址:We5ter/Sca ...

  8. MySQL之InnoDB数据页结构(转自掘金小册 MySQL是怎样运行的，版权归作者所有！)

    InnoDB为了不同的目的而设计了不同类型的页,我们把用于存放记录的页叫做数据页. 一个数据页可以被大致划分为7个部分,分别是 File Header,表示页的一些通用信息,占固定的38字节. Pag ...

  9. Microsoft Visual Studio Tools for AI

    https://www.visualstudio.com/zh-hans/downloads/ai-tools-vs/ 开发.调试和部署深度学习和 AI 解决方案 Visual Studio Tool ...

  10. 膜拜rqy

    今晚rqy大佬进行了一番演讲,说是演讲他自己都不大信... 不过今晚确实有收获. rqy大佬本身自带好学属性,我在初中部机房就只有打游戏,就此来说我无法与他比较.所以我们之间的差距显然早就巨大化.他自 ...