【NOIP2016提高A组模拟8.15】Garden

题目

分析

其实原题就是【cqoi2012】【bzoj2669】局部极小值。

有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。

给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

发现，X的位置最多有8个，那我们考虑状压dp。

我们从小到大把数填进去，用\(f_{i,j}\)表示，把第i个数填进去后，每个X是否被填了数，用二进制数j表示。

预处理出\(rest_j\)表示填充状态为j时共有多少位置是可以填充的(包括已填充的局部极小值位置)

转移：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}*(rest_j-(i-1))+\sum_{k\in{j}}f_{i-1,j-2^{k-1}}
\]

但是有些不是为X的位置有可能也是局部极小值，那么我们用容斥，每次把一下有可能出现局部极小值的地方改为X，当额外增加的X的个数为奇数，ans就减去dp得所得的答案，否则ans加上dp得所得的答案。

其中dp方面这篇论文（第5页到第8页）讲的非常清楚

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=12345678;
const int N=10;
int z[9][2]=
{
{-1,-1},
{-1,0},
{-1,1},
{0,-1},
{0,1},
{1,-1},
{1,0},
{1,1},
{0,0}
};
int a[N][N],T,n,m,ans,f[N*N][2000],mi[10],sign[N][2],tot,rest[2000];
char c[N][N];
bool bz[N][N];
int val()
{
	tot=0;
	int state=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(c[i][j]=='X')
			{
				state+=mi[tot];
				sign[++tot][0]=i;
				sign[tot][1]=j;
			}
		}
	for(int i=0;i<=state;i++)
	{
		memset(bz,true,sizeof(bz));
		rest[i]=0;
		for(int j=1;j<=tot;j++)
			if((mi[j-1]&i)==0)
			{
				for(int k=0;k<=8;k++)
				{
					bz[sign[j][0]+z[k][0]][sign[j][1]+z[k][1]]=false;
				}
			}
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=m;k++)
			{
				if(bz[j][k])
					rest[i]++;
			}
	}
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n*m;i++)
		for(int j=0;j<=state;j++)
		{
			f[i][j]=0;
			(f[i][j]+=f[i-1][j]*(rest[j]-i+1)%mo)%=mo;
			for(int k=1;k<=tot;k++)
			{
				if(mi[k-1]&j)
				{
					(f[i][j]+=f[i-1][j-mi[k-1]])%=mo;
				}
			}
		}
	return f[n*m][mi[tot]-1];
}
int dg(int x,int y,int z1)
{
	if(x>n)
	{
		(ans+=(val()*(z1%2?1:-1))%mo)%mo;
		return 0;
	}
	int xx=x,yy=y+1;
	if(yy>m)
	{
		yy=1;
		xx++;
	}
	dg(xx,yy,z1);
	bool q=true;
	for(int i=0;i<=8;i++)
	{
		if(c[x+z[i][0]][y+z[i][1]]=='X')
		{
			q=false;
			break;
		}
	}
	if(q)
	{
		c[x][y]='X';
		dg(xx,yy,z1+1);
		c[x][y]='.';
	}
}
int main()
{
	mi[0]=1;
	for(int i=1;i<=9;i++)
		mi[i]=mi[i-1]*2;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		tot=0;
		ans=0;
		memset(c,0,sizeof(c));
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				c[i][j]=getchar();
				while(c[i][j]!='X' && c[i][j]!='.')
					c[i][j]=getchar();
				if(c[i][j]=='.')
					tot++;
			}
		}
		if(tot==n*m)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		for(int i=1;i<=n && ans!=-1;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				bool q=true;
				if(c[i][j]=='X')
				for(int k=0;k<=7;k++)
				{
					if(c[i+z[k][0]][j+z[k][1]]=='X')
					{
						q=false;
						ans=-1;
						break;
					}
				}
				if(!q)
				{
					ans=-1;
					break;
				}
			}
		}
		if(ans==-1)
		{
			printf("0\n");
		}
		if(ans!=-1)
		{
			dg(1,1,1);
			printf("%d\n",(ans%mo+mo)%mo);
		}
	}
}