[总结] 二维ST表及其优化

二维 \(\mathcal{ST}\) 表，可以解决二维 \(\mathcal{RMQ}\) 问题。这里不能带修改，如果要修改，就需要二维线段树解决了。

上一道例题吧 ZOJ2859

类比一维 \(\mathcal{ST}\) 表，我们定义数组 \(f[i][j][k][p]\) 表示从 \((i,j)\) 往下 \(2^k\) 个元素，往右 \(2^p\) 个元素的最值。

建表的话，同样类比一维 \(\mathcal{ST}\) 表，外层两个循环 \(\mathcal{k}\) 和 \(\mathcal{p}\) , 然后内层取最值就行了。要注意的是，\(\mathcal{k}\) 和 \(\mathcal{p}\) 要从 \(0\) 开始循环，因为一行或者一列的情况也要维护。

查询的话，就把一个大矩形分成四个小矩形覆盖住就好了。

空间复杂度 \(\mathcal{O(n^2log^2n)}\)代码在这里

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define N 302

int n,T;
int val[N][N];
int f[N][N][9][9];

void prework(){
	for(int i=0;i<9;i++){
		for(int j=0;j<9;j++){
			if(i==0 and j==0) continue;
			for(int k=1;k<=n-(1<<i)+1;k++){
				for(int p=1;p<=n-(1<<j)+1;p++){
					if(i==0)
						f[k][p][i][j]=std::min(f[k][p][i][j-1],f[k][p+(1<<j-1)][i][j-1]);
					else
						f[k][p][i][j]=std::min(f[k][p][i-1][j],f[k+(1<<i-1)][p][i-1][j]);
				}
			}
		}
	}
}

int query(int r1,int c1,int r2,int c2){
	int k1=log2(r2-r1+1);
	int k2=log2(c2-c1+1);
	return std::min(f[r1][c1][k1][k2],std::min(f[r2-(1<<k1)+1][c1][k1][k2],std::min(f[r1][c2-(1<<k2)+1][k1][k2],f[r2-(1<<k1)+1][c2-(1<<k2)+1][k1][k2])));
}

void file(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out2.txt","w",stdout);
}

signed main(){
	//file();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(f,0x3f,sizeof f);
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++)
				scanf("%d",&val[i][j]),f[i][j][0][0]=val[i][j];
		}
		prework();
		int q; scanf("%d",&q);
		while(q--){
			int r1,r2,c1,c2;
			scanf("%d%d%d%d",&r1,&c1,&r2,&c2);
			printf("%d\n",query(r1,c1,r2,c2));
		}
	}
}

我们有一种把空间复杂度优化到 \(\mathcal {O(n^2logn)}\) 的方法，记 \(\mathcal{f[i][j][k]}\) 表示以点 \((i,j)\) 为左上角，边长为 \(\mathcal{2^k}\) 的正方形所要维护的最值。

考虑查询，设查询矩形的左上角和右下角坐标分别为 \((r1,c1)\) 和 \((r2,c2)\)。且假设 \(r2-r1>c2-c1\)。

因为我们维护的是一个正方形内的最值，所以不能 \(\mathcal{O(1)}\) 的查询。而是要这样

for(int i=r1;i<=r2-(1<<k1)+1;i++)
	ans=min(ans,min(f[c1][i][k1],f[c2-(1<<k1)][i][k1]))

其实这样是能被一个宽度为 \(1\) 的长方形把查询复杂度卡成 \(O(n)\) 的，但毕竟空间复杂度小了一个 \(\mathcal{log}\) 倍，对于一些内存紧张的题目，这种做法还是能起到一定效果的。

下面是 \(\mathcal{ZOJ}\) \(2859\) 第二种做法的代码。

上一下两种方法的对比吧，大家自行比较选择。

第一种：



第二种：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define N 302

int T;
int n;
int val[N][N];
int f[N][N][9];

void prework(){
	for(int i=1;i<9;i++){
		for(int k=1;k<=n-(1<<i)+1;k++){
			for(int p=1;p<=n-(1<<i)+1;p++){
				f[k][p][i]=std::min(f[k][p][i-1],std::min(f[k+(1<<i-1)][p][i-1],std::min(f[k][p+(1<<i-1)][i-1],f[k+(1<<i-1)][p+(1<<i-1)][i-1])));
			}
		}
	}
}

int query(int r1,int c1,int r2,int c2){
	int k1=log2(r2-r1+1);
	int k2=log2(c2-c1+1);
	if(k1==k2) return std::min(f[r1][c1][k1],std::min(f[r2-(1<<k1)+1][c1][k1],std::min(f[r1][c2-(1<<k1)+1][k1],f[r2-(1<<k1)+1][c2-(1<<k1)+1][k1])));
	if(k1<k2){
		int minp=0x3f3f3f3f;
		for(int i=c1;i<=c2-(1<<k1)+1;i+=(1<<k1)) minp=std::min(minp,std::min(f[r1][i][k1],f[r2-(1<<k1)+1][i][k1]));
		minp=std::min(minp,std::min(f[r1][c2-(1<<k1)+1][k1],f[r2-(1<<k1)+1][c2-(1<<k1)+1][k1]));
		return minp;
	}
	int minp=0x3f3f3f3f;
	for(int i=r1;i<=r2-(1<<k2)+1;i+=(1<<k2)) minp=std::min(minp,std::min(f[i][c1][k2],f[i][c2-(1<<k2)+1][k2]));
	minp=std::min(minp,std::min(f[r2-(1<<k2)+1][c1][k2],f[r2-(1<<k2)+1][c2-(1<<k2)+1][k2]));
	return minp;
}

void file(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out1.txt","w",stdout);
}

signed main(){
	//file();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(f,0x3f,sizeof f);
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&val[i][j]),f[i][j][0]=val[i][j];
		}
		prework();
		/*for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				for(int k=0;k<9;k++) printf("i=%d,j=%d,k=%d,f=%d\n",i,j,k,f[i][j][k]);
			}
		}*/
		int q; scanf("%d",&q);
		while(q--){
			int r1,r2,c1,c2;
			scanf("%d%d%d%d",&r1,&c1,&r2,&c2);
			printf("%d\n",query(r1,c1,r2,c2));
		}
	}
	return 0;
}