[HNOI 2013]数列

Description

题库链接

给你四个数 \(N,K,M,P\) ，让你生成一段长度为 \(K\) 严格单调递增序列，并且满足：

1. 第一位可以为任意元素；
2. 相邻两位的差值不超过 \(M\) ；
3. 序列中元素大小不超过 \(N\) 。

求满足上述要求不同的生成序列有多少个，对 \(P\) 取模。

\(1\leq N\leq 10^{18},1\leq K,M,P\leq 10^9\)

Solution

其实容易发现，我们可以生成长度为 \(K\) 以增量为元素的序列 \(A\) 。

等价的变成了：

1. 第一位可以为任意元素；
2. 其余元素 \(\in [1,M]\) ；
3. \(\sum\limits_{i=1}^K A_i\leq N\) 。

我们先不考虑第一位元素的选取情况。其余 \(K-1\) 个元素选取情况为 \(M^{K-1}\) 。那么对于每种生成序列 \(A\) ，它第一位可以选的元素 \(\in\left[1,N-\sum\limits_{i=2}^KA_i\right]\) 。

容易发现，每种 \([2,K]\) 位生成序列第一位的情况有 \(N-\sum\limits_{i=2}^KA_i\) 种。记所有 \(2\sim K\) 位生成排列的集合为 \(\mathbb{S}\) 我们枚举生成的排列。那么答案为：\[\sum_{s\in\mathbb{S}}\left(N-\sum\limits_{i=2}^KA_i\right)\]

等价变形为： \[\begin{aligned}&NM^{K-1}-\sum_{s\in\mathbb{S}}\sum\limits_{i=2}^KA_i\\=&NM^{K-1}-(K-1)\frac{1+2+\cdots+M}{2}M^{K-2}\\=&NM^{K-1}-(K-1)\frac{(M+1)M}{2}M^{K-2}\end{aligned}\]

直接求解即可。

Code

//It is made by Awson on 2018.3.10
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define dob complex<double>
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
void read(LL &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }
void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

LL n, k, m, p, ans, t;

LL quick_pow(LL a, LL b) {
    LL ans = 1;
    while (b) {
    if (b&1) ans = ans*a%p;
    a = a*a%p, b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void work() {
    read(n), read(k), read(m), read(p); n %= p;
    ans = n*quick_pow(m, k-1);
    if (m&1) t = (m+1)/2*m%p; else t = m/2*(m+1)%p;
    ans = (ans-(k-1)*t%p*quick_pow(m, k-2)%p)%p;
    writeln((ans+p)%p);
}
int main() {
    work(); return 0;
}