格子刷油漆【动态规划问题】—NYOJ 980

个人博客页：https://www.scriptboy.cn/198.html

出处：蓝桥杯

题目描述：

X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
c e f d a b 是另一种合适的方案。
当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入：

输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出：

输出数据为一个正整数。

样例输入：

 

2 3 22

样例输出：

 

24 96 359635897

思路：

固定起点，由于如果起点在中间（第2~N-1列）可以分为左右两边来讨论，这时起点都是角格子。假如a[i]表示2*i的格子从左上角开始刷刷完所有格子的方案数（其中i表示列数，1<=i<=N），有三种刷法刷完所有格子：

1. 先向下刷（即先刷左下角），向下刷完之后有两种方法跳到下一列，刷完剩下的i-1列需要2*a[i-1]；
2. 向下一列刷，最后刷左下角，可以看出不能同列刷，只能一直向右刷，且在没有到最后一列之前是不能返回，所以刷完所有格子有2^i个方案；（此种情况比较特殊，后面需要还要用到，所以单独用b[i]存储下来）
3. 向下一列刷，有两种方案到下一列，然后返回左下角，再刷下一列未刷格子之后，然后有两种方案再到下一列，可见有四种方案到下下列，所以刷完所有格子有4*a[i-2]个方案；

总之，就是左下角格子什么时候刷，造成了不同的情况。如果是起点不在角格子上，不难看出，可以将左右两侧分割成2*i和2*(N-i)的矩形，需要其中一个矩形使用第2种刷法刷才能回到另一个矩形中。

参考：https://blog.csdn.net/roosevelty/article/details/50706322

AC代码：

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

#include <bits/stdc++.h> #define mod 1000000007 using namespace std;   long long a[1005], b[1005], sum;   int main() {     int N;     while(cin >> N)     {         sum = 0;         b[1] = 1;         for(int i = 2; i <= N; i++)         {             b[i] = b[i-1] * 2 % mod;         }         a[1] = 1;         a[2] = 6;         for(int i = 3; i <= N; i++)         {             a[i] = b[i] + a[i-2]*4 + a[i-1]*2;             a[i] %= mod;         }         sum += 4*a[N];  // 四个角的情况         // 中间为起点的情况         for(int i = 2; i < N; i++)         {             sum += (2*b[i]*2*a[N-i]+2*a[i-1]*2*b[N-i+1])%mod;         }         if(N == 1) sum = 2;         cout << sum %mod << endl;     }     return 0; }