LA 3295 (计数 容斥原理) Counting Triangles
如果用容斥原理递推的办法,这道题确实和LA 3720 Highway很像。
看到大神们写的博客,什么乱搞啊,随便统计一下,这真的让小白很为难,于是我决定用比较严格的语言来写这篇题解。
整体思路很简单:m*n的方格,其格点是(m+1)*(n+1)的点阵,选三个点有C((m+1)*(n+1), 3)中情况,其中能构成三角形的不容易计算,所以计算它的反面:三个点不能构成三角形,即三点共线的情况。
三点共线的情况也可以再分为三类:
①三点在一条水平线上,共有m*C(n+1, 3)种情况。
②三点在一条竖直线上,共有n*C(m+1, 3)种情况。
③然后就是三点在斜线下的情况,由于是对称的,不妨先统计\左上到右下方向的直线,最后乘2即可。
首先是gcd(i, j) - 1的含义:这是起点为(0, 0)终点为(i, j)的所有三点共线的情况。
令dp(i, j)表示i*j大小的方格中 有一个点在右下角 的三点共线的情况,根据容斥原理有如下递推关系:
dp(i, j) = dp(i-1, j) + dp(i, j-1) - dp(i-1, j-1) + gcd(i, j) - 1
令sum(i, j)表示i*j大小的方格中\方向的三点共线情况,也可以类似地递推:
sum(i, j) = sum(i-1, j) + sum(i, j-1) - sum(i-1, j-1) + dp(i, j)
最终答案就是:C((m+1)*(n+1), 3) - m*C(n+1, 3) - n*C(m+1, 3) - sum(i, j) * 2
#include <cstdio>
typedef long long LL; const int maxn = ;
LL dp[maxn + ][maxn + ], sum[maxn + ][maxn + ]; int gcd(int a, int b) { return b == ? a : gcd(b, a%b); } LL C(LL n) { return (LL)n * (n-) / * (n-) / ; } int main()
{
for(int i = ; i <= maxn; i++)
for(int j = ; j <= maxn; j++)
dp[i][j] = dp[i-][j] + dp[i][j-] - dp[i-][j-] + gcd(i, j) - ;
for(int i = ; i <= maxn; i++)
for(int j = ; j <= maxn; j++)
sum[i][j] = dp[i][j] + sum[i][j-] + sum[i-][j] - sum[i-][j-]; int n, m, kase = ;
while(scanf("%d%d", &n, &m) == && n)
{
n++; m++;
printf("Case %d: %lld\n", ++kase, C(n*m) - C(n)*m - C(m)*n - sum[n-][m-] * );
} return ;
}
代码君
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