CF464D World of Darkraft - 2

Roma 在游戏“World of Darkraft”（理论上应该是 World of darkcraft，MineCraft 的一个版本）找到一个新角色。 \(\mathrm{Roma}\) 有 k种装备，一开始每种装备各有 1个，且每种装备的初始等级均为 1。

游戏中可以靠打怪来获取新装备，总共有 n 只怪兽，每打赢 1 只怪兽后，\(\mathrm{Roma}\) 会随机获得一种装备 \(a\) (a∈[1,k])，假设原有的 a 装备的等级为 t，那么新获得的装备的等级为 [1,t+1]，\(\mathrm{Roma}\) 会将新获得的装备和原来的装备中等级较高的装备留下，等级较低的装备卖出，卖出可获得的金币为该装备的等级。 问打完这 n只怪兽后，\(\mathrm{Roma}\) 获得的金币的期望。 \(1<=n<=10^5,1<=k<=10^3\)

Sample Input

input1

1 3

input2

2 1

input3

10 2

Sample Output

output1

1.0000000000

output2

2.3333333333

output3

15.9380768924

这道题我们考虑概率DP

设dp[i][j]表示打赢只要求出了前i只怪兽后某种装备被替换后价值为j的期望。

为什么是某装备？

因为所有装备的期望值是相同的，所以我们只要求出一种装备的期望，再乘上k即可。

有两种情况：

1.爆出了等级为j+1的神装。（概率为\(1/(j+1)\)）

dp[i][j]+=(dp[i-1][j-1]+j)/j+1。

2.只得到等级<=j的装备。（概率为\(j/(j+1)\)）

dp[i][[j]+=(dp[i-1][j]+(j+1)/2)*j/(j+1);//因为1至j是等概率出现的，所以取平均（j+1）/2。

但是这样你打出来你会发现自己MLE或TLE了，为什么？

i过于大，j也过于大。

优化：1.dp[i][j]的更新只需要他前一个的情况，所以我们可以考虑用滚动数组记录。

2.因为这个状态的转移是会收敛的，所以j越大他所产生的变化就越小，最终小到可以忽略不计，所以j只用取到很小就可以当作答案用了（有很多神仙j取600就过了，不过保险起见最好取1000）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,s=1;
double dp[2][1010];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++,s^=1)
	{
		for(int j=min(n,1000);j;j--)
		{
			dp[s][j]=((dp[s^1][j+1]+j)/(j+1.0)+(dp[s^1][j]+(j+1)/2.0)*j/(j+1.0))/double(k)+dp[s^1][j]*(k-1.0)/double(k);
		}
	}
	printf("%.11lf\n",dp[s^1][1]*k);
	return 0;
}