题解 NOI2004【郁闷的出纳员】

\[Preface
\]

之前用 treap 打，交了四遍才过。

自学了 fhq treap 后，才意识到是一道 fhq treap 板子题，直接码上，一遍就过。

本题解提供的是 fhq treap 做法（感谢 fhq 神犇），不太了解 fhq treap 的同学可以去了解一下 fhq treap ，挺好理解的。（至少要了解两种 split 和 merge 操作）

\[Description
\]

你需要维护一个可重集，支持 \(4\) 种操作：

I k 向集合内插入元素 \(k\) 。

A k 将集合内所有元素加上 \(k\) 。

S k 将集合内所有元素减去 \(k\) 。

F k 查询集合内第 \(k\) 大。

一共 \(n\) 次操作。

一开始给出一个下界 \(Minv\) ，表示集合内的所有元素必须大于等于 \(Minv\) ，在任何时刻，小于 \(Minv\) 的所有元素会被立刻删除。

最后还要输出被删除的元素个数。

\[Solution
\]

对于 I k 操作：

​ 首先先判断一下 \(k\) 是否大于等于 \(Minv\) ，之后就是经典的插入操作了。

​ 让原树按 \(k-1\) 值分裂成两棵树 \(x,y\) ，新建值为 \(k\) 的节点 \(New\) ，合并 \(x,New,y\) 。

\(~\)

对于 A k 和 S k 操作：

​ 考虑到 " A 和 S 命令的总条数不超过 100 " ，想到了啥？暴力修改！

​ 显然集合内的所有元素加上 \(k\) 或减去 \(k\)，fhq treap 树形态不变。

​ A k 操作就很好办了，集合内的所有元素加上 \(k\) 固然还是大于等于 \(Minv\) ，直接 \(dfs\) 暴力修改即可。

​ S k 操作之后还会导致一些元素小于 \(Minv\) ，这些元素在还没操作前是小于 \(Minv+k\) 的。

​ 那么我们可以将原树按 \(Minv+k-1\) 值分裂成两棵树 \(x,y\) 。树 \(x\) 的所有元素在操作之后都是小于 \(Minv\) 的，那么此次被删除的元素个数即为 \(size[x]\) ，将其累加进答案，随后树 \(x\) 就没有用了，不用管它就行了。树 \(y\) 的所有元素在操作之后都是大于等于 \(Minv\) 的，直接 \(dfs\) 暴力修改，最后将树 \(y\) 当成原树就行了。

\(~\)

对于 F k 操作：

​ 经典的查询第 \(k\) 大。

​ 让原树按 \(size[root]-k\) 大小分裂成两棵树 \(x,y\) ，再让树 \(y\) 按 \(1\) 大小分裂成两棵树 \(y,z\) ，此时树 \(y\) 只有一个节点，这个节点就是我们要找的第 \(k\) 大了，最后记得合并回去。

​ 当然，在 " 按大小分裂 " 上做一点小改动，或是用一般 treap 的查询第 k 大也是可以的。

\(~\)

至此，此题得到完美解决。

\[Code
\]

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

#define RI register int

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char s=getchar();
	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	return x*f;
}

const int N=100100;

int m,Minv;

int tot,root;
struct treap{
	int lc,rc;
	int val,dat;
	int size;
}t[N];

int New(int val)
{
	tot++;
	t[tot].lc=t[tot].rc=0;
	t[tot].val=val;
	t[tot].dat=rand();
	t[tot].size=1;
	return tot;
}

void upd(int p)
{
	t[p].size=t[t[p].lc].size+t[t[p].rc].size+1;
}

void split_v(int p,int val,int &x,int &y)
{
	if(!p)
		x=y=0;
	else
	{
		if(t[p].val<=val)
			x=p,split_v(t[p].rc,val,t[p].rc,y);
		else
			y=p,split_v(t[p].lc,val,x,t[p].lc);
		upd(p);
	}
}

void split_s(int p,int size,int &x,int &y)
{
	if(!p)
		x=y=0;
	else
	{
		if(t[t[p].lc].size<size)
			x=p,split_s(t[p].rc,size-t[t[p].lc].size-1,t[p].rc,y);
		else
			y=p,split_s(t[p].lc,size,x,t[p].lc);
		upd(p);
	}
}

int merge(int p,int q)
{
	if(!p||!q)
		return p^q;
	if(t[p].dat>t[q].dat)
	{
		t[p].rc=merge(t[p].rc,q),upd(p);
		return p;
	}
	else
	{
		t[q].lc=merge(p,t[q].lc),upd(q);
		return q;
	}
}

int x,y,z;

void insert(int val)
{
	split_v(root,val-1,x,y);
	root=New(val);
	root=merge(x,root);
	root=merge(root,y);
}

void dfs(int u,int val)
{
	if(!u)return;
	t[u].val+=val;
	dfs(t[u].lc,val),dfs(t[u].rc,val);
}

int GetValByRank(int rank)
{
	if(t[root].size<rank)
		return -1;
	split_s(root,t[root].size-rank,x,y);
	split_s(y,1,y,z);
	int ans=t[y].val;
	root=merge(x,y);
	root=merge(root,z);
	return ans;
}

int ans;

int main()
{
	m=read(),Minv=read();

	while(m--)
	{
		char op[2];scanf("%s",op);
		int val=read();

		switch(op[0])
		{
			case 'I':{
				if(Minv<=val)
					insert(val);

				break;
			}

			case 'A':{
				dfs(root,val);

				break;
			}

			case 'S':{
				split_v(root,Minv+val-1,x,root);
				ans+=t[x].size;

				dfs(root,-val);

				break;
			}

			case 'F':{
				printf("%d\n",GetValByRank(val));

				break;
			}
		}
	}

	printf("%d\n",ans);

	return 0;
}

\[Thanks \ for \ watching
\]