约瑟夫问题O(n)/O(mlogn)

题面

略

题解

约瑟夫问题。编号000~n−1n-1n−1，每次拿第mmm个。

O(n)O(n)O(n)：f[n]f[n]f[n]表示幸存的人的编号，f[n]=(f[n−1]+m)%nf[n]=(f[n-1]+m)\%nf[n]=(f[n−1]+m)%n

O(mlogn)O(mlogn)O(mlogn)：优化：把若干连续的mmm一起计算，直到加起来的值达到第一个模数nnn，然后进行下一次。每次的时间与O(n/m)O(n/m)O(n/m)有关，所以总时间复杂度大概可能是O(mlog⁡n)O(m\log n)O(mlogn)的。

假设当前答案是ansansans，位置是iii，一起求的个数为kkk，则：

ans+km≥i+k−1ans+km\geq i+k-1ans+km≥i+k−1移项就是k≥⌈i−1−ansm−1⌉k\geq \lceil{\frac{i-1-ans}{m-1}\rceil}k≥⌈m−1i−1−ans​⌉

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T, n, m;
int main () {
	scanf("%d", &T); while(T--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		if(m == 1) { printf("%d\n", n); continue; }
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n && i <= m; ++i)
			ans = (ans + m) % i;
		for(int i = m+1, j; i <= n; i = j+1) {
			j = min(i + (i-1-ans+m-2)/(m-1) - 1, n);
			ans = (ans + 1ll*m*(j-i+1)) % j;
		}
		printf("%d\n", ans+1); //题目中要求的编号是1~n,所以+1
	}
}