数据结构与算法学习(二)——Master公式及其应用

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1. Master公式是什么？

我们在解决算法问题时，经常会用到递归。递归在较难理解的同时，其算法的复杂度也不是很方便计算。而为了较为简便地评估递归的算法复杂度，Master公式应运而生。下面给出Master公式的维基百科链接

1.1 Master公式

$T(N) = a*T(\frac{N}{b}) + O(N^d)$

• a：子问题被调用的次数
• $\frac{N}{b}$：子问题的规模
• N：母问题的规模
• d：额外操作的次数

1. 当$log_{b}a < d$时，$O(N^d)$；
2. 当$log_{b}a > d$时，$O(N^{log_{b}a})$；
3. 当$log_{b}a = d$时，$O(N^d*logN)$；

2. Master公式的应用举例

使用递归求最大值

• 代码

  public static int maxNum(int[] arr, int L, int R){
      if(L == R) {
          return arr[L];
      }
      int mid = L + ((R - L) >> 1);
      int lMax = maxNum(arr, L, mid);
      int rMax = maxNum(arr, mid + 1, R);
      return Math.max(lMax, rMax);
  }
  

• 解析：如上是求数组中的最大值的方法，将数组划分成左半部和右半部，求出左边最大值，在求出右边的最大值，最后比较左右的最大值，求出整个数组的最大值。因为将数组划分为左右两部分，所以子问题的规模为$\frac{N}{2}$，即b = 2，又有int lMax = maxNum(arr, L, mid)和int rMax = maxNum(arr, mid + 1, R)的两次调用，所以a = 2，剩下来，有return arr[L]、int mid = L + ((R - L) >> 1)、return Math.max(lMax, rMax)三个常数级的操作，所以d = 0。

  将a,b,d代入，则其Master公式可表示为：$T(N) = 2 * T(\frac{N}{2}) + O( 1 )$

  根据Master公式，$log_b{a} = log_2{2} = 1 > d = 0$，所以，复杂度为$O(N^{log_ba}) = O(N)$

3. 注意事项

使用Master公式分析递归问题复杂度时，各子问题的规模应该是一致的，否则不能使用Master公式。

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