2019CSP day1t1 格雷码

题目描述

通常，人们习惯将所有 \(n\) 位二进制串按照字典序排列，例如所有 \(2\) 位二进制串按字典序从小到大排列为：\(00,01,11,10\)。

格雷码（\(Gray Code\)）是一种特殊的 \(n\) 位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 \(2\) 位二进制串按格雷码排列的一个例子为：\(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)。

\(n\) 位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

1. \(1\) 位格雷码由两个 \(1\) 位二进制串组成，顺序为：\(0\)，\(1\)。
2. \(n + 1\) 位格雷码的前 \(2^n\) 个二进制串，可以由依此算法生成的 \(n\) 位格雷码（总共 \(2^n\) 个 \(n\) 位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀 \(0\) 构成。
3. \(n + 1\) 位格雷码的后 \(2^n\) 个二进制串，可以由依此算法生成的 \(n\) 位格雷码（总共 \(2^n\) 个 \(n\) 位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀 \(1\) 构成。

综上，\(n + 1\) 位格雷码，由 \(n\) 位格雷码的 \(2^n\)个二进制串按顺序排列再加前缀 \(0\)，和按逆序排列再加前缀 \(1\) 构成，共 \(2^{n+1}\) 个二进制串。另外，对于 \(n\) 位格雷码中的 \(2^n\)个 二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 \(0 \sim 2^n - 1\) 编号。

按该算法，\(2\)位格雷码可以这样推出：

1. 已知 \(1\) 位格雷码为 \(0\)，\(1\)。
2. 前两个格雷码为$ 00$，\(01\)。后两个格雷码为 \(11\)，\(10\)。合并得到 \(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)，编号依次为 \(0\sim 3\)。

同理，\(3\) 位格雷码可以这样推出：

1. 已知 \(2\) 位格雷码为：\(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)。
2. 前四个格雷码为：\(000\)，\(001\)，\(011\)，\(010\)。后四个格雷码为：\(110\)，\(111\)，\(101\)，\(100\)。合并得到：\(000\)，\(001\)，\(011\)，\(010\)，\(110\)，\(111\)，\(101\)，\(100\)，编号依次为 \(0\sim7\)。

现在给出 \(n\)，\(k\)，请你求出按上述算法生成的 \(n\) 位格雷码中的 \(k\) 号二进制串。

输入格式

仅一行两个整数 \(n\)，\(k\)，意义见题目描述。

输出格式

仅一行一个 \(n\) 位二进制串表示答案。

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

10

输入 #2

3 5

输出 #2

111

输入 #3

44 1145141919810

输出 #3

00011000111111010000001001001000000001100011

说明/提示

【样例 \(1\) 解释】

\(2\) 位格雷码为：\(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)，编号从 \(0\sim3\)，因此 \(3\) 号串是 \(10\)。

【样例 \(2\) 解释】

\(3\) 位格雷码为：\(000\)，\(001\)，\(011\)，\(010\)，\(110\)，\(111\)，\(101\)，\(100\)，编号从 \(0\sim7\)，因此 \(5\) 号串是 \(111\)。

【数据范围】

对于 \(50\%\) 的数据：\(n \leq 10\)

对于 \(80\%\) 的数据：\(k \leq 5 \times 10^6\)

对于 \(95\%\) 的数据：\(k \leq 2^{63} - 1\)

对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \leq n \leq 64\), \(0 \leq k \lt 2^n\)

这个题正解据说是位运算，但是似乎也不用这么麻烦。然而我考场上并没有开\(unsigned\) \(long\) \(long\)所以我就没了。

考虑按照题意模拟。按照题意，一个\(n\)位的格雷码是由一个前缀\(0\)或\(1\)加上一个长度为\(n-1\)为的格雷码构成的，所以我们可以考虑类似康托展开的方法。

我们不妨先处理出所有\(2\)的幂。对于我们知道这个长度为\(n\)的格雷码在当前所有长度为\(n\)的格雷码中应该正序排第\(k\)位，则如果\(n\lt 2^{n-1}\)（只有小于是因为编号是从\(0\)开始存的）则当前这一位还放\(0\)，转移到\(dfs(n-1,k)\)；反之放下一个\(1\)，考虑怎么处理逆序。

由于我们已经放下了一个\(1\)，所以我们已经整个过滤掉了\(2^{n-1}\)个比它排名靠前的格雷码（因为这些格雷码第一位应该是\(0\)），所以我们最后处理编号的范围是\(2^{n-1}\)，所以我们首先要把\(k\)减掉\(2^{n-1}\)。手玩一下可以知道，编号从\(0\)开始存这个事情非常麻烦，所以我们需要把这个数整个向右面移一位，也就是加上\(1\)。

再考虑要求倒序排列。这个很简单，因为这\(2^{n-1}\)个格雷码的编号是\(0\sim2^{n-1}-1\)，所以容易知道我们只需要用\(2^{n-1}-(k-2^{n-1}+1)\)即可。（其实手玩一下或者打表找规律也行。）

上代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define int long long
#define rep(i,a,n) for(register int i=a;i<=n;++i)
#define dep(i,n,a) for(register int i=n;i>=a;--i)
using namespace std;
int n;
unsigned long long k;
unsigned long long num[64];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(int x)
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x==0)return;
	write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void dfs(int step,int k)
{
	if(step==0)return;
	if(k<num[step-1])
	{
		putchar('0');
		dfs(step-1,k);
	}
	else
	{
		putchar('1');
		dfs(step-1,num[step-1]-(k-num[step-1]+1));
	}
}
signed main()
{
	n=read(),k=read();
	num[0]=1;
	rep(i,1,n-1)num[i]=num[i-1]*2;
	dfs(n,k);
	return 0;
}

一定注意编号必须从\(0\)存，否则\(unsigned\) \(long\) \(long\)存不下。