2019CSP day1t1 格雷码

题目描述

通常，人们习惯将所有 $n$ 位二进制串按照字典序排列，例如所有 $2$ 位二进制串按字典序从小到大排列为：$00,01,11,10$。

格雷码（$Gray Code$）是一种特殊的 $n$ 位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 $2$ 位二进制串按格雷码排列的一个例子为：$00$，$01$，$11$，$10$。

$n$ 位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

$1$ 位格雷码由两个 $1$ 位二进制串组成，顺序为：$0$，$1$。
$n + 1$ 位格雷码的前 $2^n$ 个二进制串，可以由依此算法生成的 $n$ 位格雷码（总共 $2^n$ 个 $n$ 位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀 $0$ 构成。
$n + 1$ 位格雷码的后 $2^n$ 个二进制串，可以由依此算法生成的 $n$ 位格雷码（总共 $2^n$ 个 $n$ 位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀 $1$ 构成。

综上，$n + 1$ 位格雷码，由 $n$ 位格雷码的 $2^n$个二进制串按顺序排列再加前缀 $0$，和按逆序排列再加前缀 $1$ 构成，共 $2^{n+1}$ 个二进制串。另外，对于 $n$ 位格雷码中的 $2^n$个二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 $0 \sim 2^n - 1$ 编号。

按该算法，$2$位格雷码可以这样推出：

已知 $1$ 位格雷码为 $0$，$1$。
前两个格雷码为$ 00$，$01$。后两个格雷码为 $11$，$10$。合并得到 $00$，$01$，$11$，$10$，编号依次为 $0\sim 3$。

同理，$3$ 位格雷码可以这样推出：

已知 $2$ 位格雷码为：$00$，$01$，$11$，$10$。
前四个格雷码为：$000$，$001$，$011$，$010$。后四个格雷码为：$110$，$111$，$101$，$100$。合并得到：$000$，$001$，$011$，$010$，$110$，$111$，$101$，$100$，编号依次为 $0\sim7$。

现在给出 $n$，$k$，请你求出按上述算法生成的 $n$ 位格雷码中的 $k$ 号二进制串。

输入格式

仅一行两个整数 $n$，$k$，意义见题目描述。

输出格式

仅一行一个 $n$ 位二进制串表示答案。

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

输入 #2

3 5

输出 #2

输入 #3

44 1145141919810

输出 #3

00011000111111010000001001001000000001100011

说明/提示

【样例 $1$ 解释】

$2$ 位格雷码为：$00$，$01$，$11$，$10$，编号从 $0\sim3$，因此 $3$ 号串是 $10$。

【样例 $2$ 解释】

$3$ 位格雷码为：$000$，$001$，$011$，$010$，$110$，$111$，$101$，$100$，编号从 $0\sim7$，因此 $5$ 号串是 $111$。

【数据范围】

对于 $50\%$ 的数据：$n \leq 10$

对于 $80\%$ 的数据：$k \leq 5 \times 10^6$

对于 $95\%$ 的数据：$k \leq 2^{63} - 1$

对于 $100\%$ 的数据：$1 \leq n \leq 64$, $0 \leq k \lt 2^n$

这个题正解据说是位运算，但是似乎也不用这么麻烦。然而我考场上并没有开$unsigned$ $long$ $long$所以我就没了。

考虑按照题意模拟。按照题意，一个$n$位的格雷码是由一个前缀$0$或$1$加上一个长度为$n-1$为的格雷码构成的，所以我们可以考虑类似康托展开的方法。

我们不妨先处理出所有$2$的幂。对于我们知道这个长度为$n$的格雷码在当前所有长度为$n$的格雷码中应该正序排第$k$位，则如果$n\lt 2^{n-1}$（只有小于是因为编号是从$0$开始存的）则当前这一位还放$0$，转移到$dfs(n-1,k)$；反之放下一个$1$，考虑怎么处理逆序。

由于我们已经放下了一个$1$，所以我们已经整个过滤掉了$2^{n-1}$个比它排名靠前的格雷码（因为这些格雷码第一位应该是$0$），所以我们最后处理编号的范围是$2^{n-1}$，所以我们首先要把$k$减掉$2^{n-1}$。手玩一下可以知道，编号从$0$开始存这个事情非常麻烦，所以我们需要把这个数整个向右面移一位，也就是加上$1$。

再考虑要求倒序排列。这个很简单，因为这$2^{n-1}$个格雷码的编号是$0\sim2^{n-1}-1$，所以容易知道我们只需要用$2^{n-1}-(k-2^{n-1}+1)$即可。（其实手玩一下或者打表找规律也行。）

上代码。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cctype>

#include<cmath>

#define int long long

#define rep(i,a,n) for(register int i=a;i<=n;++i)

#define dep(i,n,a) for(register int i=n;i>=a;--i)

using namespace std;

int n;

unsigned long long k;

unsigned long long num[64];

inline int read()

{

	int x=0,f=1;

	char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}

	return x*f;

}

void write(int x)

{

	if(x<0)putchar('-'),x=-x;

	if(x==0)return;

	write(x/10);

	putchar(x%10+'0');

}

void dfs(int step,int k)

{

	if(step==0)return;

	if(k<num[step-1])

	{

		putchar('0');

		dfs(step-1,k);

	}

	else

	{

		putchar('1');

		dfs(step-1,num[step-1]-(k-num[step-1]+1));

	}

}

signed main()

{

	n=read(),k=read();

	num[0]=1;

	rep(i,1,n-1)num[i]=num[i-1]*2;

	dfs(n,k);

	return 0;

}

一定注意编号必须从$0$存，否则$unsigned$ $long$ $long$存不下。