D. Game with modulo 交互题（取余（膜）性质）附带a mod b<a/2证明

D. Game with modulo 交互题（取余（膜）性质）

题意

猜一个点\(a\)可以向机器提问 点对\((x,y)\)

如果\(x\mod(a)>=y\mod(a)\)回答\(x\)

反之回答\(y\)

询问不能超过60下，请你猜出a

思路

\(a\mod(b)<a/2(a>=b)\)

形式化的证明： a的二进制形式是1xxxxxx b的二进制形式是0001xxx

\(a=b*k+x\) 设a和b最高位二进制的位数差为\(z\)

\(k=1<<(z-1)\)

这时 b*k的二进制形式是01xxx000

而\(a-b*k=x\) 其中\(b*k>=a/2\) 所以\(x<=a/2\)

再来讨论相等的情况

假设\(x=a/2\)

所以\(x>=b\) 所以\(x\mod(b)<b<a/2\)

也就是\(b*k+x\mod(b)<a/2\)

也就是\(a\mod(b)<a/2\) 故得证

所以本题中 只要枚举(0,1) (1,2)(2,3) 第一个使得返回y的范围里面 有a,然后二分再找a即可

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,f_start,f_end) for(int i=f_start;i<=f_end;i++)
#define MS(arr,arr_value) memset(arr,arr_value,sizeof(arr))
#define F first
#define S second
#define pii pair<int ,int >
#define mkp make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
string opt;
int main(){
	while(cin>>opt){
		if(opt[0]=='s'){

			ll l=0,r=1;
			for(;;){
				cout<<"? "<<l<<" "<<r<<endl;
				fflush(stdout);
				cin>>opt;
				if(opt=="x")break;
				l=r;
				r<<=1;
			}
			while(l<r){
				ll mid=l+r>>1;
				cout<<"? "<<mid<<" "<<r<<endl;
				fflush(stdout);
				cin>>opt;
				if(mid+1==r){
					cout<<"! ";
					if(opt=="x"){
						cout<<r<<endl;
					}
					else cout<<mid<<endl;
					break;
				}
				if(opt=="x"){
					l=mid;
				}
				else if(opt=="y")r=mid;

			}

		}
		else if(opt[0]=='e')break;
	}

	return 0;
}