题解 graph

传送门

一道做了巨久，不过确实很好的题

发现不定边权极难处理，所以就不会

感觉和这题有点像，但还是不会

但发现题面里有个地方很套路

• 要求有哪些点/边最终可以满足最短/最小，比如这样或这样的题，考虑凸包，最终在凸包上的点就是能取到最值的点

所以考虑如何维护凸包

根据题解，发现为了确定一条路径的权值，我们需要知道这条路上经过了多少条-1边

所以需要处理出经过 \(k\) 条-1边时到终点的最短路

发现这个东西很难实现，考虑二维spfa

• 当题目要求「在某种特定访问顺序（先去过红点才能去蓝点/必须按一红一蓝访问之类）/特定前提/访问分层」条件下的最短路时，考虑二维最短路（其实就是开个二维数组记录下当前限制条件满足到什么情况了

然后就可以用凸包维护有哪些k可能形成最优值

这里有个细节，我一直写的是计算 \(top-1\) 和 \(top\) 的交点，再计算 \(top\) 和当前 \(i\) 的交点横坐标判断

但实际上好像应该是计算 \(top-1\) 和当前 \(i\) 的交点及 \(top\) 和当前 \(i\) 的交点

若两交点横坐标间没有整数值就可以弹掉了

仔细想想或画个图会发现，我们令 \(top-1\) 和 \(top\) 的交点为 \(x,top\) 和当前 \(i\) 的交点为y

那我们截取 \(xy\) 这条线段，发现这条线段实际上属于当前 \(i\) 而不是 \(top\)

所以就清楚了

于是我们在spfa时记录路径，dfs回溯标记下都经过了哪些点输出即可

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 1010
#define ll long long
#define int long long
#define fir first
#define sec second
#define make make_pair

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n, m;
int head[N], size, dis[2010][N], top;
vector< pair<int, int> > back[2010][N];
bool vis[2010][N], ans[N], vis2[N];
struct edge{int to, next, val;}e[5010];
inline void add(int s, int t, int w) {edge* k=&e[++size]; k->to=t; k->val=w; k->next=head[s]; head[s]=size;}
struct que{double k, b; inline void build(int k_, int b_) {k=k_; b=b_;} que(){} que(int k_, int b_):k(k_),b(b_){}}q[N];
inline double point(que a, que b) {return (a.b-b.b)/(b.k-a.k);}

void spfa(int s) {
	memset(dis, 127, sizeof(dis));
	queue< pair<int, int> > q;
	pair<int, int> t;
	dis[0][s]=0;
	q.push(make(0, 1));
	while (q.size()) {
		t=q.front(); q.pop();
		vis[t.fir][t.sec]=0;
		if (t.fir>m) continue;
		//cout<<"t: "<<t.fir<<' '<<t.sec<<endl;
		for (int i=head[t.sec],v; i; i=e[i].next) {
			v = e[i].to;
			if (e[i].val==-1) {
				if (dis[t.fir+1][v] > dis[t.fir][t.sec]) {
					dis[t.fir+1][v]=dis[t.fir][t.sec];
					back[t.fir+1][v].clear();
					back[t.fir+1][v].push_back(make(t.sec, -1));
					if (!vis[t.fir+1][v]) q.push(make(t.fir+1, v)), vis[t.fir+1][v]=1;
				}
				else if (dis[t.fir+1][v] == dis[t.fir][t.sec]) back[t.fir+1][v].push_back(make(t.sec, -1));
			}
			else {
				if (dis[t.fir][v] > dis[t.fir][t.sec]+e[i].val) {
					dis[t.fir][v]=dis[t.fir][t.sec]+e[i].val;
					back[t.fir][v].clear();
					back[t.fir][v].push_back(make(t.sec, 0));
					if (!vis[t.fir][v]) q.push(make(t.fir, v)), vis[t.fir][v]=1;
				}
				else if (dis[t.fir][v] == dis[t.fir][t.sec]+e[i].val) back[t.fir][v].push_back(make(t.sec, 0));
			}
		}
	}
	//cout<<"dis: "; for (int i=0; i<=10; ++i) {for (int j=1; j<=n; ++j) cout<<dis[i][j]<<' '; cout<<endl;}
}

void dfs(int u, int k) {
	//cout<<"dfs "<<u<<' '<<k<<endl;
	//for (int i=1; i<=n; ++i) printf("%d", ans[i]); printf("\n");
	if (!u) return ;
	if (!k && u==1) {ans[1]=1; return ;}
	ans[u]=1; vis[k][u]=1;
	for (auto it:back[k][u]) if (!vis[k+it.sec][it.fir]) dfs(it.fir, k+it.sec);
}

void dfs2(int u) {
	//cout<<"dfs2 "<<u<<endl;
	ans[u]=1; vis2[u]=1;
	for (int i=head[u]; i; i=e[i].next)
		if (e[i].val==-1 && !vis2[e[i].to]) dfs2(e[i].to);
}

signed main()
{
	n=read(); m=read();
	for (int i=1,u,v,w; i<=m; ++i) {
		u=read(); v=read(); w=read();
		add(u, v, w); add(v, u, w);
	}
	spfa(1);
	for (int i=0; i<=m; ++i) {
		//cout<<"try "<<i<<' '<<dis[i][n]<<' '<<q[top].k<<' '<<q[top].b<<endl;
		if (top && q[top].b<dis[i][n]) continue;
		//if (top) cout<<"now goto while: "<<ceil(point(q[top-1], q[top]))<<' '<<floor(point(q[top], que(i, dis[i][n])))<<endl;
		while (top>1 && ceil(point(q[top], que(i, dis[i][n])))>floor(point(q[top-1], que(i, dis[i][n])))) {
			//cout<<ceil(point(q[top-1], q[top]))<<' '<<point(q[top], que(i, dis[i][n]))<<endl;
			//cout<<"pop"<<endl;
			--top;
		}
		q[++top].build(i, dis[i][n]);
	}
	//cout<<"top: "<<top<<' '<<q[top].k<<' '<<q[top].b<<endl;
	for (int i=1; i<=top; ++i) dfs(n, q[i].k);
	//for (int i=1; i<=n; ++i) if (ans[i]) dfs2(i);
	dfs2(1); dfs2(n);
	for (int i=1; i<=n; ++i) printf("%lld", ans[i]);
	printf("\n");

	return 0;
}