[SCOI2010]幸运数字
题目描述
在中国,很多人都把6和8视为是幸运数字!lxhgww也这样认为,于是他定义自己的“幸运号码”是十进制表示中只包含数字6和8的那些号码,比如68,666,888都是“幸运号码”!但是这种“幸运号码”总是太少了,比如在[1,100]的区间内就只有6个(6,8,66,68,86,88),于是他又定义了一种“近似幸运号码”。lxhgww规定,凡是“幸运号码”的倍数都是“近似幸运号码”,当然,任何的“幸运号码”也都是“近似幸运号码”,比如12,16,666都是“近似幸运号码”。
现在lxhgww想知道在一段闭区间[a, b]内,“近似幸运号码”的个数。
输入输出格式
输入格式:
输入数据是一行,包括2个数字a和b
输出格式:
输出数据是一行,包括1个数字,表示在闭区间[a, b]内“近似幸运号码”的个数
输入输出样例
1 10
2
说明
对于30%的数据,保证1<=a<=b<=1000000
对于100%的数据,保证1<=a<=b<=10000000000
题解:
容斥原理+dfs
存在左界不难,只要容斥时减去左边的伪幸运数,假设要求[a,b],其中一个因数为p1
只要由b/p1->b/p1-(a-1)/p1
首先dfs求出所有幸运数字,
总方案ans=(b/p1-(a-1)/p)+(b/p2-(a-1)/p)+...-(b/p1p2-(a-1)/p1p2)-......
不过直接dfs显然超时
优化:
1.减小搜索范围,根据容斥原理,可以知道当px|py时,py与px显然重合且py无用,直接去掉,形成新的幸运数组
2.时刻判断lcm(s,x)是否超过r,超过则不选该数x,记住判断时由于数太大,可能会溢出,所以要把判断换一下
s*x/gcd(s,x)<=r ->s/gcd(s,x)<=(double)r/x这里的double是为防止整形判断有误(应该不会错,但会慢一点)
3.完成以上2步应该是60分,还有关键一点:调整搜索顺序
显然先从大的幸运数开始容斥,会在开始时产生较少的分支,而搜索算法的搜索树靠近根的分支越少就越快
所以将幸运数重新排序就可以AC了,比原来快的多
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol luck[],l,r,ans;
int cnt;
bool cmp(lol a,lol b)
{
return a>b;
}
void dfs_pre(lol s)
{
if (s>r) return;
if (s)
{
cnt++;
luck[cnt]=s;
}
dfs_pre(s*+);
dfs_pre(s*+);
}
lol gcd(lol a,lol b)
{
if (!b) return a;
return gcd(b,a%b);
}
void dfs(int x,lol s,int f)
{
if (x==)
{
ans+=f*(r/s-(l-)/s);
return;
}
lol g=gcd(s,luck[x]);
if ((double)s/(double)g<=(double)r/(double)luck[x]) dfs(x-,s/g*luck[x],f*(-));
dfs(x-,s,f);
}
int main()
{int i,j;
cin>>l>>r;
dfs_pre();
for (i=;i<=cnt;i++)
{
for (j=;j<i;j++)
if (luck[j]!=-&&luck[i]%luck[j]==)
luck[i]=-;
}
sort(luck+,luck+cnt+,cmp);
for (i=cnt;i>=;i--)
if (luck[i]==-) cnt--;
sort(luck+,luck+cnt+);
dfs(cnt,,-);
cout<<r-l++ans;
}
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