什么是KMP算法？KMP算法推导

花了大概3天时间，了解，理解，推理KMP算法，这里做一次总结！希望能给看到的人带来帮助！！

1.什么是KMP算法？

在主串Str中查找模式串Pattern的方法中，有一种方式叫KMP算法

KMP算法是在模式串字符与主串字符匹配失配时，利用已经匹配的模式串字符子集的最大块对称性，让模式串尽量后移的算法。

这里有3个概念：失配，已经匹配的模式串子集，块对称性

失配和隐含信息

在模式串的字符与主串字符比较的过程中，字符相等就是匹配，字符不等就是失配；

隐含信息是，失配之前，都是匹配。

在主串S[0，100]中查找模式串P[0，6]，从下标0开始查找，在下标为5的位置失配，记为P[0，5]失配，则有

P[5]!=S[5]，又有S[0，4]=P[0，4]

则P[0,4]都是匹配的！

已经匹配的模式串子集

接上一例，模式串是P[0，6]，而P[0，4]都是匹配的，所以，已经匹配的模式串子集有

Pcs={ P[0，4]，P[0，3]，P[0，2]，P[0，1]，P[0] }

2.块对称性

什么是块对称性？

块对称性，就是字符串前缀，后缀重叠；

比如： a b c d a b c

前缀：除了最后一个字母外，所有的前缀子集；

如： a，ab，abc，abcd，abcda，abcdab

后缀：除了第一个字母外，所有的后缀子集

如： bcdabc，cdabc，dabc，abc，bc，c

这里前缀abc和后缀abc重合

可以把这个重合看做，相对于绿块对称，所以叫它块对称性

块对称有很多种；比如：

咦？大家都在一水平排，怎么有一个飞起来了？

飞起来那个将在利用最大快对称性 小节讲解。

块有什么特点？

特点：拥有块对称性的字符串至少有2块对称重合的的部分；

分析，对称是修饰，重合是关键。而且重合的是前缀和后缀。

如何利用块对称性？

模式串如图，如果模式串和主串Str匹配的过程中，在l这失配即P[0，7]失配，你会怎样？

分析，

第一，模式串的P[0，6]和主串放入S[0，6]是完全匹配的

第二，P[0，6]串是块对称的！

因为P[0，6]刚好有块对称性，我可以把前缀abc移动到后缀abc的位置，然后让d与主串去匹配，这样就利用快对称性了对吧？

总结，可以在P[7]失配时，看失配字符的最大前缀P[0，6]是否有块对称性，如果有，我们就可以向右移动模式串，让左边的重合前缀移动到右边的重合后缀，再让模式串和主串比较！

利用最大块对称性？什么意思？

什么是KMP算法小节里，说KMP是在模式串与主串匹配失配时，利用已经匹配的模式串子集的最大块对称性，尽量让模式串右移！这里的利用最大块对称性是什么意思？

这里利用最大块对称性意味着可能发生递归！

把上个案例的d换成k，如下图：

KMP算法会预先计算出模式串所有前缀子集中哪些前缀有块对称性，在这些有块对称性的前缀的后一个字符失配时，利用其块对称性；

比如本例中P[0，6]有块对称性，那么在P[0，7]也就是l失配时，

会先利用P[0，6]的块对称性，即P[0，2]和P[4，6]相遇于字符P[3]块对称，

如果不行，会看P[0，2]块对称重合的部分有没有块对称性，

有，就利用；以此类推，一直递归到没有块对称性为止。

块对称长度的意义-编程

第一次移动中，3是什么？块对称重合长度，也是下次开始比较的位置！

第二次移动中，1是什么？块对称重合长度，也是下次开始比较的位置！

3.next数组推导-计算块对称性

单独的块对称性是没有意义的，块对称性必须结合上失配，才能利用块对称性！

所以，应该计算出Pattern所有前缀子集失配时的块对称性！放到一个叫next[]数组的地方！

如何计算呢？

next数组是计算失配时的块对称性，

当第1个字符失配时，压根就没有前缀后缀的说法，所以有next[0]是不存在块对称性的，记为next[0]=-1；

当第2个字符失配时，它的子集只有1个字符，也是没有前缀后缀，没有块对称性，所以记为next[1]=0；

再看图，对于值k，已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，则有next[j] = k。

next[j] = k代表了什么呢？

代表在Pj之前，有长度为k的块对称性，有2个长度为k的重合部分。

总结一下，前提条件如下：

条件1.next[0]是不存在的，next[1]=0；

条件2.对于下标值k，已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，则有next[j] = k。

next[]数组是从0开始被初始的，如果我们能推导出next[j+1] = 什么，是不是就可以计算出next[]数组？ 是吧

下面来推导next[j+1]

已知：

p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，==》 next[j] = k

如果pk与pj匹配，

则有p0 p1, ..., pk-1,pk = pj-k pj-k+1, ..., pj-1pj，==》 next[j+1] = k+1;

原来有2个长度为k的对称重合部分，pk与pj匹配后，2个长度为k对称重合的部分又有了1对字符重合，所以有next[j+1]=k+1；

再看图，next[j]=k，当pj失配时，下一次用pk去和主串匹配；所以next[j]的实际意义是，当pj失配时，下一次应该用哪个字符去和主串匹配！！

条件3.next[ ]数组的值就是当次失配时，下一次匹配的位置！

如果pk与pj不匹配，next[j+1]=?

next[j+1]的实际意义是，p[0，j+1]的pj+1失配时，p[0，j]的块对称重合长度，也是下一次匹配时应该用模式串的哪个字符与主串匹配，哪个字符的下标就是next[j+1]。

具体详参块对称长度的意义-编程

下一次用哪个字符比较呢？

设a1=p0 p1,...,pk-1，a2=pj-k pj-k+1,...,pj-1；a1==a2

当pk与pj不匹配时，不能用a1替换a2，如图绿叉；

因为a2是离与主串最近的部分，所以这时候应该分析a2是否有块对称性，

如果a2有块对称性，那么a1也有块对称性，如图绿框；

所以，这时应该分析p[0，k]的块对称性，也就是next[k]。

设x1与x2关于绿框对称；

x3与x4关于绿框对称；

那么把x1移动到x4的位置，是不是就可以最大利用上；

所以next[j+1]=next[k]；

总结一下

If ( p[k] == p[j] )  next[j+1]=k+1

else next[k+1]= next[k]

4.参考文献

https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7041827

http://www.codeceo.com/kmp-next-array.html

https://www.zhihu.com/question/21474082  next数组推导

https://blog.csdn.net/yearn520/article/details/6729426 next数组推到原则

https://www.xahkbg.com/

KMP中，计算目标查询串T的next[]数组是关键；

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24274982

https://blog.csdn.net/yearn520/article/details/6729426

http://www.cnblogs.com/c-cloud/p/3224788.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24649304