关于sg函数的一些证明

复习csp2019的时候稍微看了看博弈论，发现自己对于sg函数的理解完全不到位

有些定义甚至想都没想过

于是就口胡了一篇blog来安慰虚弱的自己

Question 1

对于一个满足拓扑性质的公平组合游戏

若定义一个函数\(f\)，\(f(P状态)=0\)

假设当前状态为\(a\)，它对局面的定义合法

那么\(f=sg\)

可以发现，它就是\(Muti-sg\)问题的核心，接下来我们希望证明这个问题的正确性

首先，先弄清几个定义

对于后继

1. 指的是一步转移到的状态
2. 后继一定不会等于当前状态

对于局面

它满足以下的性质（当然，性质的名字是我自己取的）

1. 状态性：它本身也可以是一个状态
2. 后继性：局面本身是状态的后继，或是后继的后继，等等
3. 异或可行性：即\(f(a)\)是\(a\)所包含的所有局面\(f\)值的异或和
4. 唯一改变性：后继与状态本身仅改变了一个局面，当然事实并不是如此，如果你会k异或的话，但我们不做探究
5. 单向变化性：局面只会改变成为它的后继（如果它是一个状态）

证明

\(f=sg\) 等价于任意\(a\)满足，\(f(a)\)是\(mex\{f(a的后继)\}\)

因为状态之间的关系本质上是一个\(DAG\)（即满足拓扑性），所以可以通过归纳法来证明

假设一个状态\(a\)，它的所有后继（包括后继的后继）的\(f\)值都等于\(sg\)值

假设\(a\)可以分为局面\(b_1\)~\(b_n\)，对应\(f_1\)~\(f_n\)，它们等于\(sg_1\)~\(sg_n\)

所以\(f(a)=f_1\oplus f_2\oplus . ..\oplus f_n=sg_1\oplus sg_2\oplus . ..\oplus sg_n\)

如果\(a\)有一个后继\(c\)，考虑\(f(c)=f(a)\oplus sg_i \oplus sg_x\)，也就是把\(b_i\)这个局面改成了\(x\)局面

考虑\(f(c)\)可以取哪些值？

首先，因为\(sg_i \ne sg_x\)，所以\(f(c) \ne f(a)\)

接下来证明\(f(c)\)可以取到\(0\)~\(f(a)-1\)的所有数

对于一个值\(val\in[0,f(a)-1]\)

设\(k\)，满足\(val=f(a) \oplus k\)

因为\(val<f(a)\)，考虑\(val\)的最高的和\(f(a)\)不同的一位，这一位必然存在并且在这一位上\(f(a)\)是\(1\)，\(val\)是\(0\)

这一位同时也是\(k\)的最高位

那么必然存在一个\(sg_i\)满足它的这位是\(1\)，而对应的\(sg_x\)必然会小于\(sg_i\)，因为它的这位是\(0\)

所以存在满足条件的\(x\)且它是\(b_i\)的后继

所以这样的\(k\)可以通过\(sg_i \oplus sg_x\)构造得到

Question 2

翻硬币游戏

定义，有一些硬币排成一排，两人采用最优策略，每次可以翻动其中一些硬币（正变反，反变正），保证翻的硬币中最右边的硬币只能是从正翻到反，不能翻动者输

结论

每个状态的\(sg\)值等于当前所有为正面的硬币在序列中单独存在的状态的\(sg\)值的异或和

证明

设正面为\(1\)，反面为\(0\)

'...'表示状态，...表示局面

把一个状态的\(01\)串倒过来，即'00101'变成\(10100\)，把它看成一个二进制数，那么在游戏过程中这个数字递减

所以这个游戏是满足拓扑性质的

接下来我们设一个定义域为\(01\)串的函数\(f\)

• \(f(00...0)=0\)
• \(f(00...01)=sg(00...01)\)
• \(f(一个01串)=\bigoplus_{每一个1} f(000..01)\)
• 其中对于第\(i\)个\(1\)，前面有\(i-1\)个\(0\)

假设当前状态为'011001'

\(f(011001)=f(01)\oplus f(001)\oplus f(000001)\)

'011001'有这样一个后继'010100'

可以说\(f(010100)=f(01)\oplus f(0001)=f(011001)\oplus f(0011)\oplus f(000001)\)

我们把\(01\)，\(001\)，\(000001\)看成是'011001'的三个特殊的局面

那么'010100'可以分拆成\(01\)，\(001\)，\(0011\)三个局面，尽管它们显得不那么特殊

这样的局面划分是合法的，因为可以看成是\(000001\)变成了\(0011\)这个局面，它满足异或和的性质

而很显然的是'0011'（'001100'）确实是'000001'的一个后继

因为\(f\)满足这样的性质：

1. \(状态f(P状态)=0\)
2. 对于局面的定义合法

在此之前，我们已经证明了，对于这样的\(f\)，\(f=sg\)

完结撒花★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。

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