BZOJ 4028: [HEOI2015]公约数数列【分块 + 前缀GCD】

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4028: [HEOI2015]公约数数列

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Description

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.

2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。

Input

输入数据的第一行包含一个正整数 n.

接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.

之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。

之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。

Output

对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.

Sample Input

10
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352

Sample Output

6
0
no
2
8
8

HINT

对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.

解题思路：

暴力出奇迹。

这种蜜汁区间查询的考虑莫队或者分块。

当然这里是分块啦，在线动态更新嘛。

每一块维护的信息有：

①：Xor[ i ] 位置 i 到它所在块的最左端的异或前缀和。

②：Gcd[ i ] 位置 i 到它所在块的最左端的前缀GCD。

为什么这样维护前缀GCD呢？因为区间【1~N】的前缀GCD 肯定是递减的，，而且每次减小最少都是除以2，那么GCD的种类最多也是logN。

由于前缀GCD是递减的，那么如果加上一块的数据后GCD不变，那就说明这一块里所有数的前缀GCD都是不变的。

那么暴力寻解的时候我们分两类情况讨论：

一类是加上这块后 GCD不变，那么只要查询这一块里面有没有符合条件的异或前缀和即可，（这里预处理时 hash 一下，代码用了stl里的set），查询时直接查这一块的 hash 表即可。

一类是加上这一块后GCD改变的，暴力枚举啦 logN

AC code：

 #include <bits/stdc++.h>

 #define LL long long

 using namespace std;

 const int MAXN = 1e5+;

 int N, M;

 int bl[], br[], pos[MAXN], block, num;

 int Gcd[MAXN], Xor[MAXN];

 int a[MAXN];

 set<int>S[];

 int gcd(int a, int b) {return b==?a:gcd(b, a%b);}

 void build(int t)

 {

     S[t].clear();

     Gcd[bl[t]] = a[bl[t]]; Xor[bl[t]] = a[bl[t]];

     S[t].insert(Xor[bl[t]]);

     for(int i = bl[t]+; i <= br[t]; i++){

         Gcd[i] = gcd(Gcd[i-], a[i]);

         Xor[i] = Xor[i-]^a[i];

         S[t].insert(Xor[i]);

     }

 }

 int main()

 {

     int id, val;

     scanf("%d", &N);

     for(int i = ; i <= N; i++){

         scanf("%d", &a[i]);

     }

     block = (int)sqrt(N);

     for(int i = ; i <= N; i+=block){

         bl[++num] = i; br[num] = min(N,i+block-);

         for(int j = bl[num]; j <= br[num]; j++)

             pos[j] = num;

     }

     for(int i = ; i <= num; i++) build(i);

     char com[];

     scanf("%d", &M);

     while(M--){

         scanf("%s", com);

         if(com[] == 'M'){

             scanf("%d %d", &id, &val);

             a[++id] = val;

             build(pos[id]);

         }

         else{

             LL xx = ;

             int Lxor = , Lgcd = ;

             scanf("%lld", &xx);

             int flag = ;

             for(int i = ; i <= num; i++){

                 int T = gcd(Lgcd, Gcd[br[i]]);

                 if(T != Lgcd){

                     for(int j = bl[i]; j <= br[i]; j++)

                         if((LL)gcd(Lgcd, Gcd[j])*(LL)(Xor[j]^Lxor) == xx){

                             flag = j;

                             break;

                         }

                     if(flag) break;

                 }

                 else{

                     if(xx%T ==  && S[i].count((int)(xx/T)^Lxor)){

                         for(int j = bl[i]; j <= br[i]; j++){

                             if((LL)gcd(Lgcd, Gcd[j])*(LL)(Xor[j]^Lxor) == xx){

                                 flag = j;

                                 break;

                             }

                         }

                     }

                     if(flag) break;

                 }

                 Lgcd = T; Lxor^=Xor[br[i]];

             }

             if(flag == ) puts("no");

             else printf("%d\n", flag-);

         }

     }

     return ;

 }