【HDOJ6229】Wandering Robots（马尔科夫链，set）

题意：给定一个n*n的地图，上面有k个障碍点不能走，有一个机器人从(0,0)出发，每次等概率的不动或者往上下左右没有障碍的地方走动，问走无限步后停在图的右下部的概率

n<=1e4，k<=1e3

思路：据说是找规律

　　    From https://blog.csdn.net/anna__1997/article/details/78494788　　牛逼的证明

　　　马尔科夫链的随机游走模型

• 可建立状态转移矩阵，对n * n 的图中n * n 个点编号为0 ~[ (n - 1) * n + n – 1] 设最大编号为max
  P = p(i, j) = [p(0, 0) p(0, 1) … p(0, max)
  P(1, 0) p(1, 1) … p(1, max)
  …
  P(max, 0) p(max, 1) … p(max, max)]
  π(i) 为i时间各点的概率
  π(n + 1) = π(n) * P
  当时间->无穷 π(n + 1)->π
  可以通过 π * P = π 计算
  验证猜测结果正确
  *******************************************************
  找规律的答案 有待证明
  现在能想到的是 整个封闭系统每个格子以出现机器人的概率作为权值 在很长的时间线上是一个熵增的
  过程(想到元胞自动机)，如果要模拟这个概率扩散的过程的话，格子的权值的更新是一个用他所能到达的格子的权值
  和他自身的权值迭代的过程，这个过程中可以发现他的相邻的格子的权值是在不断同化的，因此，在无穷远后
  (0, 0)的和他周围的格子的权值不在体现优势，而更加开放的格子则更占优(可根据迭代公式理解)
  

  *******************************************************

  考虑每个障碍点对答案的影响，找规律后的得到只与障碍点所在的位置与周围的联通情况有关

  判格子是不是障碍可以用set

   #include<cstdio>
   #include<cstring>
   #include<string>
   #include<cmath>
   #include<iostream>
   #include<algorithm>
   #include<map>
   #include<set>
   #include<queue>
   #include<vector>
   using namespace std;
   typedef long long ll;
   typedef unsigned int uint;
   typedef unsigned long long ull;
   typedef pair<int,int> PII;
   typedef vector<int> VI;
   #define fi first
   #define se second
   #define MP make_pair
   #define N   11000
   #define M   210
   #define MOD 1e9+7
   #define eps 1e-8
   #define pi acos(-1)
   int dx[]={,-,,,},dy[]={,,,-,};
   set<int>st;
  
   int read()
   {
      int v=,f=;
      char c=getchar();
      while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
      while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
      return v*f;
   }
  
   int gcd(int x,int y)
   {
       if(y==) return x;
       return gcd(y,x%y);
   }
  
   int main()
   {
       //freopen("hdoj6229.in","r",stdin);
       //freopen("hdoj6299.out","w",stdout);
       int cas;
       scanf("%d",&cas);
       for(int v=;v<=cas;v++)
       {
           st.clear();
           int n,m;
           scanf("%d%d",&n,&m);
           for(int i=;i<=m;i++)
           {
               int x,y;
               scanf("%d%d",&x,&y);
               st.insert(x*N+y);
           }
           int s1=n*n*-n*;
           int s2=n*(n+)/*-*n-;
           set<int>::iterator t=st.begin();
           while(t!=st.end())
           {
               int s=*t;
               int x=s/N;
               int y=s%N;
               for(int i=;i<=;i++)
               {
                   int tx=x+dx[i];
                   int ty=y+dy[i];
                   if(tx<||tx>=n||ty<||ty>=n||st.count(tx*N+ty)) continue;
                   s1--;
                   if(tx+ty>=n-) s2--;
               }
  
               if(x+y>=n-)
               {
                   s2-=;
                   if(x==||x==n-) s2++;
                   if(y==||y==n-) s2++;
               }
  
               s1-=;
               if(x==||x==n-) s1++;
               if(y==||y==n-) s1++;
                t++;
           }
  
           int k=gcd(s1,s2);
           printf("Case #%d: %d/%d\n",v,s2/k,s1/k);
       }
       return ;
   }