传送门

题目要求求:

\[\sum_{i=1}^nlcm(i,n)
\]

先转化成gcd处理:

\[n\sum_{i=1}^n\frac{i}{gcd(i,j)}
\]

之后老套路 枚举gcd,并且先把d除进去之后用\(i\)代替\(\frac{i}{d}\)

\[n \sum_{d|n}i\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]
\]

这时候发现 后面那一项其实是要求求在\(\frac{n}{d}\)以内所有与其互质的数的和。因为当\(gcd(d,i) = 1\)时,\(gcd(d-i,i) = 1\),所以这样的数一定是成对出现,有\(\frac{1}{2}\varphi(n)\)对,所以就可以计算这个值。注意当n=1的时候,这个值是1.所以要在后面加上1.

我们现在要求的就是

\[n\sum_{d|n}\frac{\frac{n}{d}\varphi(\frac{n}{d})}{2} + n
\]

这玩意咋求呢……?我们首先线性把欧拉函数筛出来,之后虽然他有枚举因子的循环,但实际上我们也这么操作,他每次做的操作次数之和其实是一个调和级数(很像埃氏筛法),是\(O(nlogn)\)的。所以直接这样先预处理出来,之后询问的时候\(O(1)\)出结果即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
#define fr friend inline
#define y1 poj
#define mp make_pair
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define sc second
#define pb push_back
#define I puts("bug") using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 1000005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-7;
const double pi = acos(-1);
const ll mod = 1e9+7; ll read()
{
ll ans = 0,op = 1;char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') op = -1;ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') ans = ans * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return ans * op;
} int T,n,p[M],phi[M],tot;
bool np[M];
ll ans[M]; void euler()
{
np[1] = 1,phi[1] = 1;
rep(i,2,M-2)
{
if(!np[i]) p[++tot] = i,phi[i] = i-1;
for(int j = 1;i * p[j] <= M-2;j++)
{
np[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0) {phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];break;}
phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
}
}
rep(i,1,M-2)
for(int j = 1;j * i <= M-2;j++) ans[i * j] += (ll)i * phi[i] / 2;
rep(i,1,M-2) ans[i] = (ll)ans[i] * i + i;
} int main()
{
euler();
T = read();
while(T--) n = read(),printf("%lld\n",ans[n]);
return 0;
}

疯狂LCM的更多相关文章

  1. P1891 疯狂LCM

    \(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 众所周知,czmppppp是数学大神犇.一天,他给众蒟蒻们出了一道数论题,蒟蒻们都惊呆了... 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N ...

  2. luogu1891 疯狂lcm ??欧拉反演?

    link 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N). 多组询问,1≤T≤300000,1≤N≤1000000 \(\sum_{i=1}^nlcm(i,n)\) \( ...

  3. 洛谷 - P1891 - 疯狂LCM - 线性筛

    另一道数据范围不一样的题:https://www.cnblogs.com/Yinku/p/10987912.html $F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} lcm(i,n) $ $\ ...

  4. 题解:洛谷P1891 疯狂LCM

    原题链接 题目描述 描述: 众所周知,czmppppp是数学大神犇.一天,他给众蒟蒻们出了一道数论题,蒟蒻们都惊呆了... 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N) ...

  5. 洛咕 【P1891】疯狂LCM & 三倍经验

    经验给掉先: 经验*1 经验*2 经验*3 这里给个跑得比较慢的 \(n \sqrt n\) 预处理然后 \(O(1)\) 回答询问的做法 式子 首先我们推柿子: \[\begin{aligned}A ...

  6. 洛谷 P1891 疯狂LCM 题解

    原题链接 享受推式子的乐趣吧 数论真有趣! 庆祝:数论紫题第 \(3\) 道. \[\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n) \] \[= \sum_{i=1}^n \ ...

  7. luogu P1891 疯狂LCM

    嘟嘟嘟 这题跟上一道题有点像,但是我还是没推出来--菜啊 \[\begin{align*} ans &= \sum_{i = 1} ^ {n} \frac{i * n}{gcd(i, n)} ...

  8. [Luogu1891]疯狂LCM[辗转相减法]

    题意 多组询问,每次给定 \(n\) ,求:\(\sum_{i=1}^nlcm(i,n)\) . \(\rm T \leq 3\times 10^4\ ,n \leq 10^6\). 分析 推式子: ...

  9. 洛谷 - P3768 - 简单的数学题 - 欧拉函数 - 莫比乌斯反演

    https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i ...

随机推荐

  1. 【经验之谈】适合学习的IT教程站点列表

    ①  CSDN   http://www.csdn.net/ ②  gitHub   https://github.com/ ③  极客学院  http://www.jikexueyuan.com/ ...

  2. selenium之 文件上传方法

    文件上传是所有UI自动化测试都要面对的一个头疼问题 首先,我们要区分出上传按钮的种类,大体上可以分为两种,一种是input框,另外一种就比较复杂,通过js.flash等实现,标签非input 我们分别 ...

  3. docker安全最佳实践概述

    /************************************************* * Author : Samson * Date : 08/07/2015 * Test plat ...

  4. linux c语言 select函数使用方法

    linux c语言 select函数使用方法 表头文件 #i nclude<sys/time.h> #i nclude<sys/types.h> #i nclude<un ...

  5. 显卡接口PCI、VGA、PCIE

    转:1.PCIe扫盲系列博文连载 2.http://blog.sina.com.cn/s/blog_a73f94190102w2j2.html 1.AGP(Accelerated Graphics P ...

  6. Android.mk: recipe commences before first target. Stop.

    [GUIDE] Setup Android Development Environment on Ubuntu 14.04 Trusty Tahr Hi All, This originally wa ...

  7. Numpy数组计算

    NumPy是高性能科学计算和数据分析的基础包.它是pandas等其他各种工具的基础. NumPy的主要功能 ndarray,一个多维数组结构,高效且节省空间 无需循环对整组数据进行快速运算的数学函数 ...

  8. spring 接收_header 作为get请求的httpheader

    今天项目遇到一个问题,我们项目用户验证和权限验证的信息(licence)是在http头中设置的,百度了一下,只有ajax才能设置头信息,form表单是无法设置的,但是我突然想起springMVC关于f ...

  9. ubuntu环境eclipse配置

    ubuntu环境eclipse配置 首先下载Eclipse和JDK: 然后将上边两个压缩包解压到安装文件夹(如;/home/linux/softwares/java).然后配置/etc/profile ...

  10. PHP后台批量删除数据

    html <form action="" method="post"> <div><input type="submit ...